高考数学函数专题复习 普通高中数学复习资料(3)

⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)?0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

10．函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有

f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，请注意两者的区

别所在。如已知函数f(x)?x3?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y?ax?b(a?0 xb?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(??,?bb],[,??)，减区间为aa[?bb,0),(0,].如 aa（1）若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是

______(答：a??3）)；

（2）已知函数f(x)?ax?1在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：x?21(,??)）； 2（3）若函数f?x??loga?x?______(答：0?a?4且a?1）)；

??a??4??a?0,且a?1?的值域为R，则实数a的取值范围是x?

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数y?log1?x2?2x的单调递增区间是

2??________(答：（1,2）)。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数f(x)?loga(x2?ax?3)在区间(??,]上为减函数，求a的取值范围（答：(1,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：

a2?12?m?） 23①函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。如设

11．常见的图象变换

f(x)?2?x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单

位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1))

②函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如 （1）若f(x?199)?4x2?4x?3，则函数f(x)的最小值为____(答：2)；

（2）要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；

（3）函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

③函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的； ④函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向下平移a个单位得到的；如

将函数y?b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关x?a于直线y?x对称,那么 (A)a??1,b?0 (B)a??1,b?R (C)a?1,b?0

(D)a?0,b?R (答：C)

⑤函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的（1）将函数y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的

1得到的。如 a1（纵坐标不变），再将此图像沿x轴3方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；

（2）如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答：x??⑥函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

12．函数的对称性。

①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?1)． 2a?b对称。如 2已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，则

1f(x)＝_____(答：?x2?x)；

2②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?； ③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?； ④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?； ⑤点(x,y)关于直线y??x?a的对称点为(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。特别地，点(x,y)关于直线y?x的对称点为(y,x)；曲线

f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲线的方程为f(y,x)

?0；点(x,y)关于直线y??x的对称点为(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的对称曲线的方

x?33,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x2x?32x?2对称图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________（答：y??）；

2x?1程为f(?y,?x)?0。如己知函数f(x)?⑥曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a?x,2b?y)?0。如若函数y?x2?x与

y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x2?7x?6）

⑦形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x??d

cx?dc(由分母为零确定)和直线y?a(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(?d,a)。如已知函数图象

cccC?与C:y(x?a?1)?ax?a2?1关于直线y?x对称，且图象C?关于点（2，－3）对称，则a的值为______

（答：2）

⑧|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如

（1）作出函数y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的图象；

（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于____对称 （答：

y轴）

提醒：

（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；

（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：

①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上； ②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如 （1）已知函数f(x)?对称图形；

（2）设曲线C的方程是y?x3?x,将C沿x轴, y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后

得曲线C1。①写出曲线C1的方程（答：y?(x?t)3?(x?t)?s）；②证明曲线C与C1关于点A?称。

13．函数的周期性。

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