(a1?a2)2设x,a1,a2,y成等差数列，则的取值范围是____________.（答：x,b1,b2,y成等比数列，
b1b2。 (??,0][4,??)）
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
2??(x?1).(x?1)（1）设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围是__________（答：
??4?x?1.(x?1)(??,?2][0,10]）；
（2）已知f(x)??(x?0)?1 3，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________（答：(??,]）
2(x?0)??1
7．求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：
f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会根据已
知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如
已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,
求f(x)的解析式 。（答：f(x)?12x?2x?1） 2（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如 （1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx2??的解析式（答：f(x)??x224； ?2x2,x?[?2,2]）
（2）若f(x?11)?x2?2，则函数f(x?1)=_____（答：x2?2x?3）； xx（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当
x?(??,0)时，f(x)=________（答：x(1?3x)）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，
即f(x)的定义域应是g(x)的值域。
（3）方程的思想――已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如
（1）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?2）； 3g(x)是偶函数，（2）已知f(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=
x1,则f(x)= __（答：2）。 x?1x?1
8．反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如
函数y?x2?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、a????,1? B、a??2,??? C、a?[1,2] D、a????,1??2,???
（答：D）
（2）求反函数的步骤：①反求x；②互换 x、y；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数y?f(x?1)的反函数不是y?f?1(x?1)，而是y?f?1(x)?1。如
设f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函数fx?1(x)（答：f?1(x)?1(x?1)）． x?1（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如
单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f为?,? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）.
aa?1②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称，注意函数y?f(x)的图
?1?1(x)的定义域
?14???象与x?f(y)的图象相同。如
（1）已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；
（2）已知函数f(x)?2x?3，若函数y?g(x)与y?f?1(x?1)的图象关于直线y?x对称，求x?17； g(3)的值（答：）2③f(a)?b?f?1(b)?a。如 （1）已知函数f(x)?log3(4； ?2)，则方程f?1(x)?4的解x?______（答：1）
x（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数f?1(x)，f (4)＝0，则f?1(4)＝ （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如
已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那么不等
式f?1?log2x??1的解集为________（答：（2,8））；
⑤设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x
(x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。
9．函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)?2sin(3x??)，
x?[2??5?,3?]为奇函数，其中??(0,2?)，则???的值是 （答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：如判断函数y?|x?4|?49?x2的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或
f(?x)。如 ??1（f(x)?0）
f(x)11?)的奇偶性___.（答：偶函数） 2x?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
判断f(x)?x(（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).如
若定义在R上的偶函数f(x)在(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?2的解
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集为______.（答：(0,0.5)(2,??)）
④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要
a·2x?a?2条件。如若f(x)?为奇函数，则实数a＝____（答：1）.
2x?1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)G(x)?，。①判断F(x)与G(x)22的奇偶性； ②若将函数f(x)?lg(10x?1)，表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)＝
1x） 2⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
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