第11讲 排列、组合和二项式定理,概率(2014高考数学---新东方内部(3)

3451D.（答案：C） ②已知男人中有5℅患色盲，女人中0.25℅有患色盲．从1005个男人和100个女人中任选一人，（1）求此人患色盲的概率；（2）若此人是色盲，

2120求此人是男人的概率（答案：（1），（2））

80021 统 计

一.抽样方法：

(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；

(2)系统抽样，常常用于总体个数较多时,主要特征是先分组，从每组中按规定抽取一个；

(3)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要用于总体中的个体有明显差异。

n共同点：每个个体被抽到的概率都相等。

N如（1）从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为______；

（2）某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______；

（3）容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______；

二.总体分布的估计：用样本估计总体，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。 提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。 如（1）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下： (10,20],2；(20,30],3；

(30,40],4；(40,50],5；(50,60],4；(60,70],2；则样本在区间(?50,50]上的频率为 （ ）

A．5% B．25%

频率/组距 C．50% D．70%； （2）如图2是一次数学考试成绩的样本频率分布直方0.018 图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则0.012 0.009 0.006 0.005 分数

20

40

0 图2

60 80 100

样本中的及格人数是_____；

三．n个实数的样本平均数：

11n x?(x1?x2???xn)??xi。

nni?11样本方差：s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]；

n四．（理科学生阅读）设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,? ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

? x1 p1 x2 p2 P … … xi pi … …

性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.

③称E??x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值. ④随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b

⑤二项分布：E??np 其分布列为?～B(n,p).（P为发生?的概率） 五．方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(??xk)?pk(k?1,2,?)时，

则称D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)2pn??为ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．六．方差的性质.

(1)随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)?a2D?.（a、b均为常数） (2)二项分布：D??npq

七．正态分布.（理科，需要了解）

八．(1)正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12??e?(x??)22?2.

（x?R,?,?为常数，且??0），称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?2)表示.f(x)的表达式可简记为N(?,?2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

(2)正态分布的期望与方差：若?～N(?,?2)，则ξ的期望与方差分别为：

E???,D???2.

(3)正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.

(4) 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(ξ?k)?Cnpqk?0,1,?,n,q?1?p]

kkn?k[其中

提醒：若x1,x2,?,xn的平均数为x，方差为s2，则ax1?b,ax2?b,?,axn?b的平均数为ax?b，方差为a2s2。

如①已知数据x1,x2,?,xn的平均数x?5，方差S2?4，则数据

3x1?7,3x2?7,?,3xn?7的平均数和标准差分别为 ( )

A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36

②为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽频率组距 查了该校100名高三学生的视力情况，得到频

率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成

0.3 等差数列，设最大频率为a，视力在4.6 视力 0.1 到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 别为 A．0,27,78 B．0,27,83

C．2.7,78 D．2.7,83

③设一组数据的方差是s2,将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新

数据的 方差是

A.0.1s2 B.s2 C.10s2 D.100s2 ④若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数是7，方差为2，则对于样本

2x1+1,2x2+1,…,2xn+1,下列结论中正确的是

A.平均数是7，方差是2 B.平均数是14，方差是2 C.平均数是14，方差是8 D.平均数是13，方差是8

⑤（08.山东理科）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答

2对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对

3221的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用?表示甲队的总得分．

332（Ⅰ）求随机变量?的分布列和数学期望；

（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

解：（Ⅰ）解法一：由题意知，?的可能取值为0，1，2，3，且

12?2?2?2?1，P(??1)?C3P(??0)?C??1??????1???，

3?3?9?3?2703328?2??2?43?2?． P(??2)?C32?????1???，P(??3)?C3????339327??????所以?的分布列为

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