第11讲 排列、组合和二项式定理,概率(2014高考数学---新东方内部

第十一章 排列、组合和二项式定理

1.排列数公式

mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)?n!n(m?n)；An?n!?n(n?1)(n?2)?2?1。

(n?m)! 如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?N*）的个位数字为 ；（答：3） ②满足A8x?6A8x?2的x＝ （答：8） 组合数公式

mAnn?(n?1)???(n?m?1)n!0C?m??(m?n)；规定0!?1，Cn?1.

Amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知Cn?Cm?1?An?6，求 n，m的值 .（答：m＝n＝2） (了解)排列数、组合数的性质

①Cnm?Cnn?m；

1②Cnm?Cnm?1?Cnm??1；

kk?1③kCn； ?nCn?1?1④Crr?Crr?1?Crr?2???Cnr?Cnr?； 1⑤n?n!?(n?1)!?n!；

n11??⑥. (n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：

分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），

分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），

有序排列，无序组合．

如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；（答：35） ②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种；（答：70）

③从集合?1,2,3?和?1,4,5,6?中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系

中能确定不同点的个数是_ ；（答：23） ④72的正约数（包括1和72）共有 个；（答：12） ⑤?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的

A 顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成___ __个三角形；（答：

C B 90）

⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同

一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 D 种不同涂法；（答：480）

⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种；（答：9）

⑧f是集合M??a,b,c?到集合N???1,0,1?的映射，且f(a)?f(b)

?f(c)，则不同的映射共有 个；（答：7）

3. 解排列组合问题的方法有： （1）特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。 如①用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个；（答：156）

②某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____；（答：6）

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____。（答：15）

（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。 如①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；（答：2880）

②某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为___；（答：20）

③把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是___ __（答：144）

（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。

如3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有___种；（答：24） （5）定序排列用除法

如①书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法；（答：20）

②某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新

节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___ __。（答：42）

（6）多元问题分类法。

如①某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种；（答：15）

②某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；（答：36）

③9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种；（答：90）

④如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1?a2且a3?a2，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____；（答：240） （7）选取问题先选后排法。

如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是__。（答：576） （8）至多至少问题间接法。

如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）

（9）相同元素分组（指标分配）可采用隔板法。

如①10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；）

②某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。

如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；

5.二项式定理：

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