第三讲 三角函数与平面向量(5)

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

第十一讲、等 比 数 列

an?11. 等 比 数 列定义：a?q(q?0)

n2.等比中项: 若a，G，b成等比数列，则G是a与b的等比中项。且

G2?ab

3.等比数列的通项公式:

an?a1qn?1 an?amqn?m qn?man? amna1,(q?1)??Sn??a1(1?qn)a1(1?qn)4.等比数列的前n项和： ?,(q?1)?1?q1?q?5.等比数列的性质:

（1）对于等比数列?an?，若n+m=u+v，则anam=auav 12

(2) 若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an}，{a}也是等

n

比数列;若{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列． (3) 若数列{an}是等比数列，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，?仍成 等比 数列．

（4）若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，

S2k?Sk，S3k?S2k???成等比数列。

n（5）若Sn?a?q?b，则数列?an?是等比数列的充要条件是

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a??b?0,且q?0,q?1.

练习 1．(2011年辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )

A．2 B．4 C．8

n-1

D．16

1

2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3－，则x的值为( )

6

1A. 3

11B．－ C.

32

1

D．－

2

3. 在正项数列{an}中，a1＝2，点(an，an－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

4．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.

5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( ) A.15或5

B.31或5 C.31

D.15

6．已知等比数列{an}的公比q<0，其前n项的和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是( )

A．a9S8>a8S9 B．a9S8

A. n(2n?1) B. (n?1)2 C. n2 D. (n?1)2 8.设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若

73SS6=3 ，则 9 =（ ） S3S683（A） 2 （B） （C） （D）3 9.等比数列?an?的前n项和为sn，且4a1，2a2，若a1=1，a3成等差数列。

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则s4=（ ）

（A）7 （B）8 （C）15 （D）16

3110.已知等比数列{an}中，a3=2,S3=42,则a1＝

11.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=1,则a1a2+a2a3+?+anan+1= .

412.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且

1a1+

1a2+

1a3+

1a4+

1a5=2,求a3.

13.设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列 （II）求数列{an}的通项公式。

第十二讲、数列求和

1、

公式求和法

利用等差数列、等比数列前n项和公式求和。

例1.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋?＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于( ) 2n2n＋12n＋22n＋3

A.(8－1) B.(8－1) C.(8－1) D.(8－1) 7777例2.数列{an}满足递推关系：an?an?1?2,且a1?1， （1）求an （2）求sn 2、

裂项相消法求和。

将数列中的每一项都分拆成两项的差的形式，便有一些项相互抵消，只剩下有限的几项。裂项时可直接从通项入手，且要判断消项后

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余下哪些项。

常见的拆项公式有： 111(1)＝－； n?n＋1?nn＋11111(2)＝k(n－)； n?n＋k?n＋k

1111(3)＝(－)； ?2n－1??2n＋1?22n－12n＋11111

(4)＝[－]； n?n＋1??n＋2?2n?n＋1??n＋1??n＋2?(5)

1n＋n＋1

1

＝n＋1－n；

1

(6)＝(n＋k－n)．

n＋n＋kk例3：（1）求数列?（2）．数列项和为( )

nA. 3n＋2

3.分组求和法

某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和。

例4：求数列an?2?4n?n2的前n项和

3nn

B. C. 6n＋46n＋4

n＋1

D. n＋2

(2n)2(2n?1)(2n?1)? 的前n项的和。

1111，，，??，，??的前n2·55·88·11?3n－1?·?3n＋2?

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4．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例5．已知数列{an}中，an＝(－1)n＋1(4n－3)，其前n项和为Sn，则S22－S11＝________. 5.错位相减法求和

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的新数列求和,称为差比数列。

例6：已知数列{an}是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12，求数列

?bn?anxn的前n项和Tn（其中x?R）

?例7.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

n＋1(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

4an

第十三讲 基本不等式求最值

一、分项拆项

1(x?0)的最小值． x216 例2 求函数y＝x＋(x＞0)的最小值．

x1 例3 若0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．

3 例1 求函数y?3x?二、使用均值不等式失效时，用单调性

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例4 求函数y??2x2?5x?42 (x?R)的最小值．

2的最小值． 1?sinx例5 已知x?[0,)，求函数y?1?sinx?例6 若x，y是正实数，满足?

4x16＝1，求 x＋y的最小值． y 26

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