第三讲 三角函数与平面向量(2)

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

2°辅助角公式：asin??bcos??a2?b2sin(???)（其中?角是由

tan??b， ?所在象限与点（a，b）所在象限相同来确定。或由acos??aa?b22?sin??ba?b22来确定。）

2、三角变换中，常用的技巧与方法

公式的应用要做到“三会”，公式由左到右会用，由右到左会用，公式变形后也会用，变换常采用的方法有以下几种。

（1） 弦切互化。即把题目中出现的切函数都化为弦函数。 （2） 变角：一般是变为单角的三角函数，或用已知角表示未知

角，或用未知角表示已知角，角的常见变形有

2??(???)?(???),??(???)??,?????2????2

（3） 注意“1”的代换应用：

1?sin2??cos2??tan??cot??tan?4?sin?2

（4） 注意公式的逆用或变形运用。

1?tan??1?tan???tan(??),?tan(??)

1?tan?41?tan?4tan??tan??tan(???)(1?tan??tan?) tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)

3、三角恒等变换中，常采用的变换策略是：从“角”、“形”、“名”、“幂”四方面着手，进行局部突破，逐步化简。

1°变角：常采用“异角化同角”、“复角化单角”，用已知角表示未知角。

2°变形：若三角函数式结构形式较复杂，就要从结构形成上考虑化繁为简.

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3°变名：从函数名称上化简，常采用“异名化同名”、 弦切互化等。

4°化幂：常采用“异次化同次，高低次的互化”。注意升降幂公式的应用.

5°三看：一看名称、二看角、三看结构特征。 4、典型例题选讲 例1、填空 （1）

sin(2???)?2cos(???)? sin?2cos5??sin25?? （2）

cos25??1（3）若?为锐角且sin(??)?，则cos?= 。

63（4）(1?tan1?)(1?tan2?)(1?tan3?)???(1?tan44?)= （5）已知

2sin??cos???5，则3cos2??4sin2?=

sin??3cos?例2：化简下列各式

3?4cos2??cos4?1、

3?4cos2??cos4?1?cos??sin?2、

1?sin??cos?cos15?sin9??sin6?3、

sin15?sin9??cos6?例3.

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40?12

例4：已知tan(???)?,tan???，且?,??(0,?)，求2???的值。 例5：若

?3???3????5????,0???，且sin?????,cos?????， 4444?5??4?1317求sin(???)的值。

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例6、已知：sin??cos??，且tan??1，则cos?= 。

三角函数的图像与性质问题

例1. （1）y?2sinx(sinx?cosx)的单调递减区间是

（2）函数f(x)?3cos(3x??)?sin(3x??)是奇函数，则?等于

（3）、将函数y?f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换得到函数y?1?2sin2x，则f(x)=

例2.已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

?（Ⅱ）求函数f(x)在区间?上的最小值和最大值． ，???84?π3π75 。

。

?4 。

例3.已知函数f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

344???（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）若不等式f(x)?m?2在[?

第九讲 三角形中的三角函数问题

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,]上恒成立，求实数m的取值范围．

122??2013级假期辅导讲义 罗荣恒

（一）.知识要点： 1、正弦定理

abc???2R sinAsinBsinC（R为△ABC外接圆半径）

a2?b2?c2?2bccosA2、余弦定理：b2?a2?c2?2accosB,

c2?a2?b2?2abcosC3、三角形面积公式

S?ABC?S?ABC111absinC?acsinB?bcsinA 222abca?b?c??r? 其中，R、r分别为△ABC的外接圆，内4R2切圆半径。

4、正、余弦定理适用的题型。

（1） 余弦定理适用的题型。1°已知三边求三个角。2°已知两

边和它们的夹角，求第三边和其它两角。

（2） 正弦定理适用的题型：1°已知两角和任一边，求其它两边

和一角。2°已知两边和一边的对角，其余两角和一边。

5、三角形中常见的结论，设三角形ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C。

（1）A?B?C??,sinC?sin(A?B),

cosC??cos(A?B),sin2C??sin2(A?B)

cos2C?cos2(A?B),A?BCA?BC sin?cos,cos?sin2222tanCA?BCA?B?cot,cot?tan 2222（2）

A?B?a?b

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（二）例题选讲

例1.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若

a?2,C?πB25，cos?，求△ABC的面积S． 425

例2：在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边a=c,

cosBc?,判定三角形的形状。 cosCb

例3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC；（2）若CBCA?5，且a?b?9，求c． 2四、平面向量

第五专题——平面向量

平面向量相关知识关系表

一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).

2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如a,b,c,等.

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