第三讲 三角函数与平面向量(3)

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

向量的 概念及运算

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.

⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为?x,y?,则?x,y?称为OA的坐标,记为OA=?x,y?.

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.

3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为a?b.

注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.

4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.

5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个, 其方向是任意的.

6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.

注:共线向量又称为平行向量.

7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与???????????????OA+OB=OC 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2) 减法

向量的 概

OB?OA=AB

?????????则OA?OB=(x1+x2,y1+y2)

OB?OA=（x2-x1,y2-y1）

OA+AB=OB

实数与向量的乘积

?????????????

AB=λa 记a=(x,y) 则λa=(λx,λy)

??λ∈R

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念及运算

两个向量的数量积 (二)运算律

a?b?a?bcosa,b 记a?(x1,y1),b?(x2,y2)

则a2b=x1x2+y1y2

??加法：①a?b?b?a(交换律); ②(a?b)?c?a?(b?c)(结合律) 实数与向量的乘积：①?(a?b)??a??b; ②(???)a??a??a;③?(?a)?(??)a

c+b2c 两个向量的数量积: ①a2b=b2a; ②(λa)2b=a2(λb)=λ(a2b);③(a+b)2c=a·

注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的

运算性质可以简化向量的运算， 例如(a±b)2=a?2a?b?b (三)运算性质及重要结论

⑴平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数?1,?2,使a??1e1??2e2，称?1e1??2e2为e1,e2的线性组合。 ①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底;

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.

'这说明如果a??1e1??2e2且a??1'e1??2e2,那么?1??1???2??2?.

????????????????????2???2③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上 向量的 概念及运算

是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件

符号语言：a//b?a??b(b?0)

坐标语言为：设非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)，

?????x1??x2即?,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a与b同向时,λ>0；当a与b异向时,λ?y1??y2????????????????? 12

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?<0。|λ|=

|a||b|?,λ的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是

????实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言：a?b?a?b?0

坐标语言：设非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0 ⑷两个向量数量积的重要性质： ①a?|a| 即 |a|????????????2?2??2a(求线段的长度);

②a?b?a?b?0(垂直的判断); ③cos??a?ba?b (求角度)。

以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.

注:①两向量a,b的数量积运算结果是一个数a?bcos?(其中??a,b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.

②bcos?叫做向量b在a方向上的投影（如图）.

数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积. ③如果P1(x1,y1),P2(x2,y2),则PP12=(x2?x1,y2?y1), ∴PP12?向量的 概念及运算

??(x2?x1)2?(y2?y1)2,这就是平面内两点间的距离公式.

ABCD中，BC?CD?BA?（ ）

例1．在

(A)BC (B)DA (C)AB (D)AC

例2.平面内三点A(0,?3),B(3,3),C(x,?1),若AB∥BC，则x的值为( ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5

?????????例3. 设a，b， c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ①(a2b)c?(c2a)b=0

????????????

?

②|a|-|b|<|a?b|

④(3a+2b)2(3a?2b)=9|a|- 4b|2中，

?????????③(b2c)a?(c2a)b不与c垂直

2

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向量的 概念及运算

真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 例4. △OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(??????????????a?|a||b|(A)∠AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上 (C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上

例5. 正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且OP=（0，3），OS=（4，0），则RM=( ) (A)（??????b?)，t∈R，则点P在( )

??????717177,?） (B)（,） (C)（7，4） (D)（,） 222222例6.已知a??x,3?,b???2,4?,a?b,则实数x=_______.

例7.已知a?b??2,?8?,a?b???6,?4?,则a?_____, b?______,a与b的夹角的余弦值是_____. 例8. 已知?ABC的三个顶点分别为A?3,?3?,B?6,0?,C?5,?3?,求?ACB的大小.

???例9. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。

线段的定比分点

1.定义:设P1、P2是直线上的两点,点P是上不同于

定比分点

?使PPP1、P2的任意一点,则存在一个实数1??PP2,?叫

做点P分有向线段PP12所成的比.(如图)

例11.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐

标是( )

(A)（－m，－n） (B)（a－m，b－n） (C)（a－2m，b－2n） (D)（2a－m，2b－n）

例12．设A(5,6),B(3,4)，直线AB交x

轴于C点，则点C分AB所成的比为（）

??0; ①P在线段PP12上,P为内分点时,

②P在线段PP12或P2P1的延长线上, P为外分点时,??0. ③???PP1PP2,内分取 “+”, 外分取 “一”.

53(A)? (B)?

4242(C)? (D)?

532. PP12定比分点坐标公式:

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设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，PP1??PP2

?x?1??x2则：?x??1?? ?y??y????1?,

??y?121???x1?x特殊地，当??1时得中点坐标公式：??x?2?2 ?y?y1?y?2?2 3. 三角形重心公式及推导（见课本例2）： 三角形重心G公式：(x1?x2?x33,y1?y2?y33)

平

移

解

解斜三角形：

三常用的主要结论有：

角(1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 形

⑶等边对等角:a?b?A?B; 大边对大角:a?b?A?B.

⑷S?11ABC2底×高=2r(a?b?c)?12absinC? (其中r是内切圆半径) ⑸

asinA?bsinB?csinC?2R(正弦定理) (其中R是外接圆半径)

⑹a2?b2?c2?2bccosA,b2?(余弦定理)

解三例16.在VABC中,B?45,c?52,b?5,则a等于( )

角形

(A)52 (B)53 (C)5 (D)10

例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )

(A)4003米 (B)40033米 (C)20033米 (D)2003米

例18．在ABC中，a?x,b?2,，B?45,若这个三角形有两解，则x的取值范围是（(A)x?2 (B)x?2 (C)2?x?22 (D)2?x?23

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