第三讲 三角函数与平面向量(4)

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

例1.（1）△ABC中，已知BC?3BD，则AD等于（ ） A、(AC?2AB) B、(AB?2AC) C、(AC?3AB) D、(AC?2AB)

（2）已知□ABCD的两条对角线交于点E，设AB??1,AD??2，用?1,?2表示ED的表达式为（ ）

A、??1??2 B、??1??2 C、?1??2

12121212121213131414D、?1??2

1212（3）在△ABC中，若|AB?AC|?|AB?AC|，且|AB|?|AC|，则△ABC的形状是

。

例2. 已知向量a?2?1?3?2,b?2?1?3?2，其中?1与?2不共线，向量 c?2?1?9?2，问实数?，?满足什么条件能使向量d??a??b与c共线。

例3、（1） 已知a?(1,2),b?(?3,2)， 若ka?2b与2a?4b共线，则k= ， 若ka?2b与2a?4b垂直，则k= ， 则3a?2b与2a?4b的夹角的余弦值 。

第十讲 数 列

一、数列的概念及其通项公式

1、求通项

（一）给定数列的前几项，求通项。

1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,??； (2) ,

2346810, , , , ??； 15356399 (3) 2, －6, 12, －20, 30, －42,??.

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（二）给定数列前n项和公式，求通项公式：Sn与an之间的

关系：

由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn?1，

?S1(n?1)即an=?S?S(n?2).

n?1?n例1. 已知数列?an?的前n项和，求数列的通项公式：

⑴ Sn=n2+2n； (2) Sn＝3n－2.

例2.已知数列{an}前n项和为Sn,且对任意正整数n都有

2Sn?(n?2)an?1 ，求通项an

二、等差数列

1.定义：an－an?1=d

例3.已知数列{an}中，a1?,an?2?bn?1 an?1351(n?2,n?N?) ，数列{bn}满足an?1（1）求证数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式。

2.等差中项：A是a,b的等差中项 ? A=a?b?a,A,b成等差数列

23．等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d an?am?(n?m)d

d=

am?an an=pn+q m?nn(a1?an)n(n?1)d Sn?na1?

224.等差数列的前n项和公式1：Sn? 17

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公式二又可化成式子：

Sn?d2dn?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22例4 .已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.

注：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 利用an:当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an?1≤0，

求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an?1≥0，求得n的值

d2d2（2） 利用Sn：由Sn?n2?(a1?)n利用二次函数配方法求得最值时n

的值 5. 等差数列的性质

（1）若m+n=p+q，则，若m+n=2k，则，am?an?2ak am?an?ap?aq特别地，(2) 等差数列中，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,K也成等差数列

(3) 等差数列中，am，am＋k，am＋2k，am＋3k，?仍是等差数列，公差为kd. n(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.

2若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)

Sn

(5)若数列{an}是等差数列， 则{}也是等差数列.

n

(6)数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，则

anS2n?1?bnT2n?1

练习：

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1.在等差数列?an?中，若a1?a4?a8?a12?a15?2 求a8． 2．在等差数列{an}中，a1＝－2 007，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 009等于

A．－2 009 B．－2 008 C．2 008 D．2 009

3.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )

A．20 B．30 C．40 D．50

4、数列{an}是等差数列，a1?a2?a3?24,a18?a19?a20?78，则数列

－

2 0082 006

S2 008S2 006

{an}前20项和为（ ）

A、160

B、180

2C、200 D、340

15、在等差数列{an}中，已知公差d?，且a1?a3?a5?????a99?60，

则a1?a2?a3?a4?????a100等于（ ）

A、170

B、150

C、145

D、120

6．(2011年安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝( )

A．15 B．12 C．－12 D．－15

7．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋?＋a7＝( )

A．14 B．21 C．28 D．35

8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )

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A．8 B．7 C．6 D．5

9.(2011年江西)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若

S10＝S11，则a1＝( )

A．18 B．20 C．22 D．24

10.已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，

则S10的值为________．

11.设等差数列?an?的前n项和为Sn,a2、a4是方程x2?x?2?0的两个根，

S5?

A. B.5 C.? D.-5

5252n?12.数列?an?的通项公式an?ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于

2 A．1006

B．2012 C．503

D．0

（ ）

Sn13．数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，若＝

Tn2na100

，则＝( ) 3n＋1b100

2199200

A．1 B. C. D. 329930114.在等差数列{an}中，a2?a3?7,a4?a5?a6?18. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求

20

11??S3S6?1.S3n

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