图3-13-2
现在说明式(3-13-2)及(3-13-3)的物理意义。为简单起见，先分析六面体微团的一个面在其所在的xOy平面上的运动(图3-13-2)，然后，再将其结果推广到yOz与zOx平面上去，得到液体微团的三元流动情况。设在t时刻的矩形平面ABCD上A点的分速为ux与uy，则B点的速度分量为
uB?ux?x?ux?xdxuB?uy?y?uy?xdx
D点的速度分量为
uD?ux?x?ux?ydyuD?uy?y?uy?ydy
经dt时间矩形平面ABCD变形运动到A′B′C′D′，点A′，B′，D′的移动距离如图所示，现对液体微团的运动分析如下：?
1．ux、uy与uz分别是液体微团在x,y,z方向的平移速度，这是显而易见的，如A点移至A′，B点移至B″等等。
2．θx，θy及θz分别是液体微团在x,y,z方向的线变形速度。 因沿x方向的绝对变形(伸长或缩短)为A?B???沿x方向单位时间单位长度线段的线变形是速度。同理，?y??uy?y?ux?ux??AB??u?dxdt?udt?dxdt?x?x??x?x??故
?ux?x，即θx=
?ux?x为x方向的线变形
，?z??uz?z分别是y方向与z方向的线变形速度。
根据材料力学所述，体积变形速度θ应等于三个方向线变形速度之和。再利用不可压缩液体的连续性微分方程(3-4-3)，可得
???x??y??z??ux?x??uy?y??uz?z?0
用不可压缩液体的连续性微分方程描述了不可压缩液体的体积变形速度为零这一事实。
3．ε
z及εx,εy分别是液体微团在xOy
及yOz,zOx平面上的角变形速度之半。
因角变形
d??tgd???uy?x?ydxdt?dt?uy?xdt
同理
d???ux
故液体微团在xOy平面上的角变形速度之半为
?x?1d??d?2dt?ux1??uy???2??y??x????
同理，液体微团在yOz及zOx平面上的角变形速度之半分别为
?x????uy1??uz??2??z??y?uz1??ux???2??z?x????????
y4．ωz及ωx,ωy分别是液体微团绕z及x，y轴的旋转角速度：
定义矩形平面中∠BAD之平分线绕z轴的旋转角速度为液体微团绕z轴的旋转角速度ωz，根据几何关系，ωz应等于直角边AB与AD的旋转角速度的平均值，即
?z?1d??d?2dt?ux1??uy???2??y??x????
类似地，液体微团绕x,y轴的旋转角速度分别为
?x????uy1??uz??2??z??y?uz1??ux???2??z?x????????
y综上所述，式(3-13-3)中第一项是平移速度分量，第二项与第三、四项是角变形运动引起的速度分量，第五项与第六项是旋转运动所引起的速度分量，由此说明了液体微团运动是由平动、转动和变形运动(包括线变形与角变形)三部分所组成。
§3-14 有旋流动与无旋流动
液体的流动可分为无旋流(Irrotational Flow)与有旋流(Rotational Flow)两种类型。若运动液体微团的旋转角速度矢量
???xi??yj??zk?0
?x?uy1??ux???2??y?z???uz1??ux???2??z?x?ux1??uy??2??y??x???0??????0????0??或?uy??uz????y?z?????????即
?y或?z?或?????????ux?uz???????z?x????uy?ux??????x?y???(3-14-1)
这种流动就称为无旋流或有势流(Potential Flow)，否则就叫做有旋流或旋涡流。
无旋流与有旋流决定于液本微团是否绕自身轴旋转，而与其运动轨迹无关。如图3-14-1所示，在图a中液体运动轨迹虽是个圆，但可证明这是无旋流；在图b中液体运动虽是一条直线，但是有旋流。?
图3-14-1
一般无旋流存在于无粘性的理想液体中，而实际液体多为有旋流动。但是，实际液体的层状渗流却是无旋有势流(见第九章)。本节及后面几节主要介绍理想液体无旋流动的一些运动规律。
过去曾指出，理想液体恒定流动的伯诺里积分常数对于不同的流线一般是不同的(§3-6)，实际上是指有旋流的情况，而无旋流的伯诺里积分常数在全流场都相同，现证明如下：
将理想液体的运动微分方程(3-5-2)的三个式子分别乘以dx,dy与dz然后相加，对于恒定流动，得
(Xdx?Ydy?Zdz)?1??p?p1??p?? dx?dy?dz?????x?y?z??dW??ux?ux?ux???dx?dp??u?u?uyz?x?x???y?z??
?uy?uy?uy????uz?uz?uz??ux?dy??ux?dz?uy?uz?u?uyz????x?y?z??x?y?z????这里dx,dy,dz分别是空间任意微元长度(可不在一条流线上)在x,y,z轴上的投影。利用无旋流的条件：
?ux?y??uy?z,?uy?z??uz?y,?uz?x??ux?z
得
dW??uy?uy?uy???ux?ux?ux????dy??dp??u?u?udx?u?u?uyzyz?x?x??x?x???y?z?y?z????1
22?2uy??uz?uz?uz?uz???ux?dx?ux?dz??uy?uz??????x?y?z??x222????2222?2?u2uyuuz?uz???xx?yx???dz???dy????y?222??z?222?????
2??u???x??22???u?dx????y???22???u?dy????z???2??u2??dz?d????2????对于不可压缩的液体，应
2?pu????0 dw????2???积分得
W?p???uu222?C
(3-14-2)
重力场中即
z?p?2g?C (3-14-3)
该式称为理想恒定势流的欧拉积分。显然该式适用于整个势流场。?
例3-8 已知液体流动的流速场为
?ux?ax??uy?by??uz?0
问该流动是无旋流还是有旋流??
??????????????x??uy1??uz??2??z??y?uz1??ux???2??z?x?ux1??uy??2??y??x???0??????0 ????0??解 因
y?z?故流动是无旋流。
§3-15 流速势与流函数、流网
本节讨论恒定无旋流动。
1．流速势(Velocity Potential) 从数学分析知道，对于无旋流，式(3-14-1)是使uxdx+uydy+uzdz成为某一函数φ(x,y,z)?的全微分的充分与必要条件，则
uxdx?uydy?uzdz?d? (3-15-1) 函数φ(x,y,z)的全微分可写成
d?????xdx????ydy????zdz
比较以上两式得
ux????xuy????yuz????z (3-15-2)
可把这个函数?称为无旋流动的流速势。所以，无旋流必为有势流，反之亦然。
从式(3-15-2)知道，对于无旋(势)流，只要能确定流速势?一个未知数，便可方便地求得ux,uy,uz三个未知数，再利用势流的欧拉积分式(3-14-3)进一步可求得压强分布。所以，无旋(有势)流的关键在于确定流速势?。
对于不可压缩的液体，利用连续性微分方程(3-4-3)
?ux?x??uy?y??uz?z?0
将式(3-15-2)代入得
???x222????y22????z22?0 (3-15-3)
或 式中?2 ???0
??22??22??22?x?y?z是拉普拉斯算子符。在数学上，式(3-15-3)称为拉普拉斯
(Laplace)方程。满足该方程的函数称为调和函数(Harmonic Function)。所以，流速势?满足拉普拉斯方程，是一个调和函数。对于不可压缩液体的无旋流，问题归结为在特定的边界条件下求解流速势所满足的拉普拉斯方程。求解这一线性方程要比求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程确定ux,uy,uz,p方便得多。
对于xOy平面上的不可压缩液体的平面(二元)势流，式(3-15-2)与式(3-15-3)分别成为
ux????xuy????y (3-15-4)
与
???x22????y22?0 (3-15-5)
2．流函数(Stream Function) 根据不可压缩液体平面流动的连续性微分方程，有
?ux?x???uy?y
它是使-uydx+uxdy成为某一函数ψ(x,y)的全微分的充分与必要的条件，则有
d???uydx?uxdy????xdx???dydy (3-15-6)
得到
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