第三章__水动力学基础(3)

恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用。当然，非恒定管流中流速与流量都要随时间改变。

上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导得的。若沿程有流量汇入或分出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。如图3-3-2所示的情况，

Q1?Q2?Q3

(3-3-4)

图3-3-2

例3-2 直径d为100mm的输水管道中有一变截面管段（图3-3-3），若测得管内流量Q为10l/s，变截面弯管段最小截面处的断面平均流速v0=20.3m/s，求输水管的断面平均流速?v及最小截面处的直径d0。

图3-3-3

解 由式（3-2-6），

v?Q14?2?310?1014=1.27m/s

2?d?3.14?0.1根据式（3-3-3）

d0?2vv0d2?1.2720.3?0.12=0.000626

故

d0=0.0250m=25mm

§3-4 连续性微分方程(Differential Equation of Continuity)

将质量守恒原理应用于流场中的微元空间，可导得三元流动的连续性微分方程。

假定液体连续地充满着整个流场，从中任取一个以O′（x，y，z）点为中心

的微分六面体（图3-4-1），边长为dx，dy，dz，分别平等于坐标轴x，y，z。设某时刻通过O′点的液体质点的三个流速分量为ux，uy，uz，将它们按泰勒级数展开，并略去高阶小量，可得到该时刻通过六面体的六个表面中心点的质点流速。例如，沿x方向通过左表面中心点M的流速等于

ux?1?ux2?xdx

图3-4-1

通过右表面中心点N的流速等于

ux?1?ux2?xdx

再分析在单位时间内通过六面体的质量变化。因为六面体无限小，可认为其各表面上的流速均匀分布，所以单位时间流进左表面的质量是

1?(?ux)???u?dxx??dydz2?x??

单位时间流出右表面的质量是

1?(?ux)???u?dxx??dydz2?x??

单位时间沿x方向流出与流进六面体的质量差为

?(?ux)1?(?ux)1?(?ux)?????u?dxdydz??u?dxdydz?dxdydzxx????2?x2?x?x????

同理，单位时间沿y方向及z方向，流出与流进六面体的质量差为

?(?uy)?y?(?uz)?zdxdydz

与

dxdydz

若液体是连续的，则根据质量守恒原理，单位时间内流出与流入六面体的质量差应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即

?(?uy)??(?ux)?(?uz)?????dxdydz??dxdydz???x?y?z?t????

整理得

(3-4-1)

???t??(?ux)?x??(?uy)?y??(?uz)?z?0

这就是连续性微分方程的一般形式。 对于恒定流，

???t?0，上式成为

?(?ux)?x??(?uy)?y??(?uz)?z?0 (3-4-2)

对于均匀不可压缩的液体，ρ=常数，式（3-4-1）成为

?ux?x??uy?y??uz?z?0

(3-4-3)

这就是运动液体的连续性微分方程。方程（3-4-3）给出了通过一固定空间点液体的三个流速分量之间的关系，它表明：对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流出与流入的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。

不可压缩液体的连续性微分方程（3-4-3）对于理想液体或实际液体都适用。

液体总流的连续性方程还可通过液体的连续性微分方程对总流体积积分导得。设总流1-1-2-2-1中的体积为V（图3-3-1），其微分体积为dV，则有

?uy??ux?uz??A??y?z???x???dV?0 ??假定总流的表面积为s，其微面积为ds，根据数学分析中的奥斯特洛格拉斯基-高斯 （Отроградский-Gauss）定理，

?uy??ux?uz??A??y?z???x??dV????则

?sunds

式中un为总流表面的法向分速度。

?sunds?0

对于总流的形状不随时间改变的流动，注意到总流侧面上的法向流速等于零，而过水断面上的流速即法向流速，则上式成为

?A2u2dA2??A1u1dA1?0

式中第一项为正值是因u2与A2的外法向一致，而第二项取负值是因u1与A1的外法向相反。

利用断面平均流速的概念，上式可改写为

v1A1?v2A2?Q＝常数

得到总流的连续性方程（3-3-3）。?

§3-5 理想液体的运动微分方程(Euler's Equation of Motion)

运用牛顿第二运动定律可导得理想液体三元流动的运动微分方程。 从运动的理想液体中任取一个以O′（x，y，z）点为中心的微分六面体，边长为dx，dy，dz，分别平行于坐标轴x，y，z（图3-5-1），它与推导连续性微分方程时所取的微分六面体不同，微分体不是代表固定空间，而是代表一个运动质点（微团）。?

图3-5-1

设O′（x，y，z）点的流速分量为ux，uy，uz；对于理想液体，表面力中不存在切应力，而只有动水压强，它是空间点坐标与时间变量的单值可微函数，故可设O′点的动水压强为p（x，y，z，t）。

作用于理想液体微分六面体的外力有表面力与质量力，根据牛顿第二运动定律，作用于六面体的外力在某轴方向投影之代数和，等于该液体质量乘以在同轴方向的加速度ΣF=ma。x轴方向有

1?p1?p????dx?dydz??p?dx?dydz?X?dxdydz?p?2?x2?x??????dxdydzdudtx

两边除以ρdxdydz（即对单位质量而言），整理得

????xdt?duy?1?p?Y?????ydt?duz?1?pZ?????zdt??X??x1?pdu同理 (3-5-1)

若将上式右侧按式（3-1-6）展开，得

X?1?p??x1?p??ux?t?uy?t?uz?t?ux?ux?ux?ux?x?uy?x?uz?x?ux?ux?uxY?Z???y1?p????z?ux???y?z??uy?uy???uz??y?z??uz?uz??uz??y?z???uz?ux (3-5-2)

方程（3-5-1）或（3-5-2）称为理想液体的运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程。该方程对于恒定流或非恒定流，对于不可压缩流体或可压缩流体都适用。当液体平衡时，

dudtx?dudty?dudtz?0，则得欧拉平衡微分方程式（2-2-1）。

欧拉运动微分方程只适用于理想液体。对于实际液体，需进一步考虑切应力的作用。实际液体的运动微分方程的一般形式称为纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。因其推导繁复，故在此仅介绍所得结果。

X?1?p??dt?duy???? dt?duz???dt??x??x1?p???ux????uy???uz222duY?Z???y1?p (3-5-3)

??z式中?2??22??22??22?x?y?z称为拉普拉斯（Laplace）算子符，?为液体的运动粘性

系数，??2u表示切应力作用的粘性项。

§3-6 理想液体运动微分方程的伯诺里积分

对于不可压缩液体，理想液体运动微分方程中有四个未知数：ux，uy，uz与p，它与连续性微分方程一起共四个方程，因而从原则上讲，理想液体运动微分方程是可解的。但是，由于它是一个一阶非线性的偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知函数与其偏导数的乘积），所以至今仍未能找到它的通解，只是在几种特殊情况下得到了它的特解。

水力学中最常见的伯诺里（D.Bernoulli）积分，是在以下具体条件下积分得到的：

（1）恒定流，此时因而

?ux?t?p?x??uy?t?p?y??uz?t?0

dx?dy??p?zdz?dp（2）液体是均质不可压缩的，即ρ=常数

（3）质量力有势。设W（x，y，z）为质量力的力势函数（见式（2-2-4））则

X??W?xY??W?yZ??W?z

对于恒定的有势质量力，

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