图3-11-3
例3-6 管路中一段水平放置的等截面弯管，直径d为200mm，弯角为45°（图3-11-3）。管中1-1断面的平均流速v1=4m/s，其形心处的相对压强p1=1个大气压。若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力Rx与Ry（坐标轴x与y如图所示）。
解 利用总流的动量方程求解Rx与Ry。取渐变流过水断面1-1与2-2以及管内壁所围成的封闭曲面为控制面。
R?作用在控制面上的表面力，以及流入与流出控制面的流速如图3-11-3所示，其中R?x与y是
弯管对水流的反作用力，p1与p2分别是1-1断面与2-2断面形心处的相对压强。所以作用在这两断面上的总压力分别为P1=p1A1，P2=p2A2。作用在控制面内的水流重力，因与所研究的水平面垂直，故不必考虑。
总流的动量方程（3-11-2）在x轴与y轴上的投影为
?Q(?2v2cos45?Q(?2v2sin45????1v1)?p1A2?p2A2cos45?0)?0?p2A2sin45????R?y???R?x?? ??则
14
2R?x?p1A1?p2A2cos45R?y?p2A2sin45???Q(?2v2cos45???Q?2v2sin45??1v1)??? ?? (3-11-5)
式中 Q??dv1?14×3.14×0.22×4=0.126m3/s
根据总流的连续性方程（3-3-3），v2=v1=4m/s，同时，因弯管水平，且不计水头损失，则由总流的伯诺里方程得到p2=p1=1大气压=9.8N/cm2，于是
p2A2?p1A1?p11414?d1?9.8?2×3.14×202=3077N
取
β1=β2=1
?2??1000?0.126?4???1?=1049N
?2?2??222?1000?0.126?4?22将它们代入式（3-11-5）得
R?x?3077?3077?R?y?3077?2532N
Rx与R?，Ry与R?y分别大小相等，方向相反。 x
§3-12 恒定总流的动量矩方程
当要确定运动液体与固体边壁相互间作用的力矩时，一般运用恒定总流的动量矩方程。
利用恒定元流的动量方程（3-11-1）对某固定点取矩，可得到恒定元流的动量矩方程
?dQ(r2?u2?r1?u1)?r?F (3-12-1)
式中 r1、r2分别是从固定点到流速矢量u1、u2的作用点的矢径。再在总流过水断面上求矢量积分则得恒定总流的动量矩方程
??A2r2?u2u2dA2???A1r1?u1u1dA1??(r?F) (3-12-2)
这就是说，单位时间里控制面内恒定总流的动量矩变化(流出的动量矩与流入的动量矩之矢和差)等于作用于该控制面内所有液体质点的外力矩之和。
动量矩方程的一个最重要的应用是利用它导出叶片式流体机械(泵、风机、水轮机及涡轮机等)的基本方程。现以离心泵或风机为例作推导。如图3-12-1a所示，流体从叶轮的内缘流入，经叶片槽道于外缘流出。叶轮中流体质点作复合运动：一方面，在离心力的作用下相对叶片流动(相对运动)；另一方面，流体质点受旋转叶片的作用作圆周运动(牵连运动)。流体质点的绝对速度c应等于其相对速度w与牵连速度(又称为圆周速度)u的矢量和，即
c=w+u
(3-12-3)
离心泵或风机的进出口速度三角形如图所示。其中a1与a2分别是进出口绝对速度与相应圆周速度的夹角。
图3-12-1
取进出口轮缘(两圆柱面)为控制面。此时，尽管对于固结在机壳上的惯性坐标系来说，叶轮中流体是非恒定流，但控制面内的动量矩不随时间改变，故仍可运用恒定总流的动量矩方程(3-12-2)。假定断面流速分布是均匀的(一元流动)，注意到对轮心的外力矩中，重力的合力矩等于零，叶轮进出口圆柱面上的动水压强p1与p2因通过轮心，其力矩也等于零，流体与
叶片间的切应力指向轮心，其力矩仍等于零，只有叶片对流体的作用力对转轴产生了力矩M。利用总流的动量矩方程对轮心取矩得
?Q?c2r2cos?2?c1r1cos?1??M
(3-12-4)
设叶轮的旋转角速度为ω，则叶轮对流体所作功率(输入功率)
N?M???Q?u2c2cos?2?u1c1cos?1?
(3-12-5)
另外，理想流体作一元流动时N=γQHm(输出功率)，则单位重量流体所获得的能量
1 (3-12-6) Hm??u2c2cos?2?u1c1cos?1?
g这就是泵与风机的基本方程。该式首先由欧拉在1754年得到，故又称为欧拉方程。
对于水轮机或涡轮机(图3-12-1b)，流体从叶轮外缘流向内缘，其基本方程类似地为
Hm?1g(u1c1cosa1?u2c2cosa2) (3-12-7)??
图3-12-2
例3-7 如图3-12-2所示，水流经管段以均匀流速v2=10m/s从喷嘴出流。喷嘴出口直径?d2=20mm，出口截面形心的标高yc=1m。试求管段及喷嘴保持不动时所需对A点之力矩M。假定可不计重力的作用。
解 应用恒定总流的动量矩方程(3-12-2)，取管段与喷嘴内壁及过水断面1-1与2-2所围成的封闭曲面1-1-2-2-1为控制面，注意到pa等于大气压强，而作用于控制面的大气压强相互抵消，且1-1断面上各点之相对压强与流速矢量对于点A对称，它们对点A之合力矩等于零，再利用已知条件，对A点取矩则得管段及喷嘴对水流的反力矩，即其保持不动所需对A点之力矩
M??2?A2r2u2sin?2u2dA2???2v2?A2ydA2
取
2
β2=1
ydA2M??v2?A2??v2ycA2?21422?d2?v2yc
=
14×3.14×0.22×1000×102×1=3140N-m
§3-13 液体微团的运动
前面讨论了一元流动总流的连续性方程(§3-3)、伯诺里方程(§3-10)、动量方程(§3-11)及动量矩方程(§3-12)，它们是描述一元水动力学问题的四个基本方程，是可应用于一般管流与明渠流水动力学问题水力计算的四个基本方程，但是，自然界与工程中广泛存在的是二元流动及三元流动，有必要进一步研究流速与压强等参数在平面与空间的分布规律(例如渗流流场)。以下介绍二元流动与三元流动的分析方法。
从理论力学知道，一般情况下刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分所组成。液体的运动比较复杂，因为液体微团(质点)的运动，一般除了平移和转动以外还要发生变形(包括线变形与角变形)。现在通过分析微团上邻近两点的速度关系来说明液体质点运动与变形之间的关系。
如图3-13-1所示，若已知时刻t流场中任一液体微团的点A(x,y,z)的速度分量为ux(x，y，z)，uy(x,y,z)与uz(x,y,z)，则相邻点M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度分量可按泰勒级数展开得到，若略去二阶以上的微量，则为
uMx?ux?uMy?uy?uMz?uz??ux?x?uy?x?uz?x???y?z???uy?uy?dx?dy?dz??y?z???uz?uzdx?dy?dz??y?z??dx??dz?ux?ux (3-13-1)
图3-13-1
为显示液体微团运动的上述三个组成部分，将上式(3-13-1)中第一个式子
?1?uy2?xdy?1?uz2?xdz，?并重新组织，得到
?ux??ux?xdx??uy1??ux??2??x??y??uz1??ux?dy?????2??z?x????dz?uMx
??ux1??uy??2??y??x??uz1??ux?dy?????2?x??z????dz?
类似地将式(3-13-1)中第二个与第三个式子变成
uMy?uy??uy?ydy??uz1??uy??2??y??z??ux1??uy?dz????2??y???x??dx????dx??
??uy1??uz??2??z??y?uz?zdz???ux1??uy?dz????2??y???x
??dy??uMz?uz??ux1??uz???2??x?z?uy1??uz??dx????2??z???y??dy??
??uz1??ux???2??z?x?uy1??uz??dx????2??z???x
进一步引入符号：θ为质点的线变形速度，ε为角度变形速度，ω为质点的旋转角度速度，则
?????x?,?x??x????uy?uz??1??ux?y?,?y???????y2??z?x????u?uz?uz??1?y????z?,?z????z2??x?y????
?uy?1??uz???x????2??z???y????uz?1??ux??y??????2??z?x????ux?1??uy???z????2??y???x???ux?uy1??uz???2??y?z? (3-13-2)
则上述确定uM、uM与uM的式子成为
xyzuMuMuMxyz?ux??xdx??zdy??ydz??zdy??ydz????uy??ydy??xdz??zdx??xdz??zdx???uz??zdz??ydx??xdy??ydx??xdy?? (3-13-3)
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