通常使z≥0。
图3-10-3
图3-10-4
下面举例说明总流伯诺里方程的应用。
例3-3 自流管从水库取水（如图3-10-3），已知H=12m，管径d=100mm，水头损失?hw=8
v22g，求自流管流量Q。
解：1．基准面（下游水面）；
2．渐变流端断面（如图）； 3．代表点：水面。 建立能量方程：
z1?p122???1v12g?z2?p2???2v22g?hw
H?0?0?0?0?0?hw
H?hw?8v22g,hw?8v22g
v=5.42m/s Q?vA?42.61/s
例3-4 如图断面突然缩小管道，已知d1=200mm，d2=150mm，Q=50l/s，水银比压计读数h=500mmHg，求hw。
解：1．基准面（任取）；
2．渐变流端断面（如图3-10-4）； 3．代表点（管轴线）。 建立能量方程
z1?p1???1v12g2?z2?p2???2v22g2?hw
（1）由连续方程：
v1?v2?QA1QA2=1.59m/s， =2.83m/s，
v122gv22=0.129m =0.408m
2g（2）由水银比压计公式：
(z1?p1?)?(z2?p2?)??????h?12.6h=0.63m
代入能量方程
hw2?p1?v11??z1????y?2??p2?v22???z????2?y???? ??取 α1≈α2≈α≈1.0 hw=0.35m
§3-11 恒定总流的动量方程
恒定总流的动量方程是继总流的连续性方程与伯诺里方程之后，研究液体一元流动的又一基本方程，统称水力学三大方程。
工程实践中往往需要计算运动液体与固体边壁间的相互作用力，若利用伯诺里方程，通过确定接触面上的压强分布与切应力分布而后积分的方法求解，则计算比较复杂，特别是当有些流动的水头损失以及压强与切应力分布难以确定时无法求解。为此，需要利用动量方程。该方程将运动液体与固体边壁间的作用力，直接与运动液体的动量变化联系起来，它的优点是不必知道流动范围内部的流动过程，而只需知道端面上的流动状况。
恒定总流的动量方程是根据理论力学动量定理导得的。这一定理可表述为：物体的动量变化率
dKdt等于所受外力的合力F，即
dKdt?d(?mu)dt?F
它是个矢量方程，同时方程中不出现内力。
从恒定总流中任取一束元流（图3-11-1），初始时刻在1-2位置，经dt时段运动到1′-2′位置，设通过过水断面1-1与2-2的流速分别为u1与u2。
图3-11-1
dt时段内元流的动量增量dK等于1′-2′段与1-2段液体各质点动量的矢量和之差，由于恒定流公共部分1′-2段的形状与位置及其动量不随时间改变，因而元流段的动量增量等于2-2′段动量与1′-1段动量之矢量差。根据质量守恒原理，2-2′段的质量与1′-1段的质量相等（设为dM），则元流的动量增量
dK?dMu2?dMu1?dM?u2?u1?
对于不可压缩的液体，dQ1?dQ2?dQ，故
dK??dQdt?u2?u1?
根据动量定理，得恒定元流的动量方程
?dQ?u2?u1??F
(3-11-1)
式中F是作用在元流段1-2上外力的合力。
再建立恒定总流的动量方程。总流的动量变化ΣdK等于所有元流的动量变化之矢量和，若将总流段端断面取在渐变流上，则dt时间段总流的动量变化等于元流积分
?dK??A?dQdtu2??A?dQdtu1
??dt?Au2u2dA2?Au1u1dA1? ??2121由于流速u在过水断面上的分布一般难以确定，故用断面平均流速v来计算总流的动量增量，得
?dK??dt??2v2v2A2??1v1v1A1?
按断面平均流速计算的动量ρv2A与实际动量存在差异，为此需要修正。因断面1-1与断面2-2是渐变流过水断面，即v方向与各点u方向几乎相同，则可引入动量修正系数β——实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。β值总是大于1。β值决定于总流过水断面的流速分布，一般渐变流动的β=1.02～1.05，但有时可达到1.33（见§5-4）或更大，工程上常取β=1。 注意到 v1A1?v2A2?Q，则
?dK???Qdt??2v2??1v1?
?dKdt??F根据质点系的动量定理，对于总流有，得
??F?A2u2u2dA2???A1u1u1dA1 (3-11-2′)
或
?Q??2v2??1v1??F?
(3-11-2)
式中 ΣF是作用在总流段1-2上所有外力的合力。
现在用欧拉法研究液体的流动，可认为单位时间内恒定总流的动量变化等于不随流体一起运动的封闭曲面Ⅰ-Ⅰ-Ⅱ-Ⅱ-Ⅰ内在该时段的动量变化（流出动量与流入动量之差），这一封闭曲面称为控制面。相应地，ΣF应等于作用在该控制面内所有液体质点的质量力（对于惯性坐标系即为重力）ΣFm与作用在该控制面上所有表面力ΣFs的合力，即
?F??Fm??Fs
(3-11-3)
恒定总流的动量方程(3-11-2′)或(3-11-2)表明：总流作恒定流动时，单位时间控制面内总流的动量变化（流出与流入的动量之差），等于作用在该控制面内所有液体质点的质量力与作用在该控制面上的表面力的合力。
恒定流动的动量方程不仅适用于理想液体，而且也适用于实际液体。 实际上，即使是非恒定流，只要流体在控制面内的动量不随时间改变（例如泵与风机中的流动），这一方程仍可适用。
用动量方程解题的关键在于如何选取控制面，一般应将控制面的一部分取在运动液体与固体边壁的接触面上，另一部分取在渐变流过水断面上，并使控制面封闭。
因动量方程是矢量方程，故在实用上是利用它在某坐标系上的投影式进行计算。为方便起见，应使有的坐标轴垂直于不要求的作用力或动量（速度）。写投影式时应注意各项的正负号。?
例3-5 水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止固体壁面，接触壁面后分成两股并沿其表面流动，其水平图如图3-11-2所示。设固壁及其表面液流对称于喷嘴的轴线。若已知喷嘴出口直径d为40mm，喷射流量Q为0.0252m/s，求液流偏转角θ分别等于60°，90°与180°时射流对固壁的冲击力R，并比较它们的大小。
3
图3-11-2
解 利用总流的动量方程计算液体射流对固壁的冲击力。取渐变流过水断面0-0，1-1与2-2以及液流边界面所围的封闭曲面为控制面。
流入与流出控制面的流速，以及作用在控制面上的表面力如图所示，其中R′是固壁对液流的作用力，即为所求射流对固壁冲击力R的反作用力。因固壁及表面的液流对称于喷嘴的轴线，故R′位于喷嘴轴线上。控制面四周大气压强的作用因相互抵消而不需计及。同时，因只研究水平面上的液流，故与其正交的重力也不必考虑。
为方便起见，选喷嘴轴线为x轴（设向右为正）。
若略去水平面上液流的能量损失，则由总流的伯诺里方程得
v1?v2?v0?Q14?20.025214?3.14?0.042=20m/s
?d因液流对称于x轴，故Q1=Q2=Q/2。取β1=β2=1。规定动量及力的投影与坐标轴同向为正，反向为负。总流的动量方程（3-11-2）在x轴上的投影为
?Q2v0cos??t?Q2v0cos???Qv0??R?
得
R??Qvo?1?cos??
(3-11-4)
而R=-R′，即两者大小相等，方向相反。
由式（3-11-4）得： 当θ=60°时（固壁凸向射流），
R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos60°)=252N
当θ=90°时（固壁为垂直平面），
R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos90°)=504N
当θ=180°时（固壁凹向射流），
R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos180°)=1008N
由此可见，三种情况以θ=180°时（固壁凹向射流）的R值最大。斗叶式水轮机的叶片开状就是根据这一原理设计的，以求获得最大的冲击力与输出功率。当然，此时叶片并不固定而作圆周运动，有效作用力应由相对速度所决定。?
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