二维抛物方程的有限差分法(6)

华北电力大学本科毕业设计（论文）

广泛，它仅适用于线性常系数的有限差分近似。以一维热传导方程的显式格式为例，过程如下：

第一步：首先，要研究的差分方程可写为：

m?N1?aumn?1j?m??bmunj?m

m?N0其中N0=｛-1，0，1｝，N1=｛0｝

一维热传导方程的古典显式格式则表示为，

?1nnnun?ru?(1?2r)u?rujj?1jj?1

第二步：其次，对uij进行变量分离：

nunj??Vpexp[ip2?pxj] ln第三步：将unj替代为Vexp[i?xj]代入所考察的有限差分方程。

Vn?1exp[i?xj]?rVnexp[i?xj?1]?(1?2r)Vnexp[i?xj]?rVnexp[i?xj?1]

Vn?1?rVnexp[i?h]?(1?2r)Vn?rVnexp[?i?h]

Vn?12?h?1?4rsin?r(cos?h?isin?h)?(1?2r)?r(cos?h?isin?h)?1?2r(1?cos?h)

2Vn当

Vn?1?1 Vn即对所有的?1?1?4ssin2?h2?1，时，格式稳定。由于0?sin2?h2?1，故r?1时一维热传2导方程的古典显式格式稳定。

运用Fourior级数法可推导出，一维热传导方程的古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式无条件稳定。即对任意的r,该格式都稳定。加权六点隐式格式的稳定性条件与?有关，如下：

如果r?如果??如果??1，则稳定性条件为??0； 211，则稳定性条件为r?； 22(1?2?)1，则无条件稳定。 21，古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式、P-R格式、D-R格式、422

二维热传导方程的几种差分格式的稳定性也可采用Fourior级数法求得，得出古典显式格式的稳定性条件为r?华北电力大学本科毕业设计（论文）

M-F格式无条件稳定。

5.3 r变化对稳定性的探究

5.3.1 古典显式格式的稳定性

根据5.1中对古典显式格式稳定性的分析可知，古典显式格式的稳定性条件是

r?h/k2?1/4。采用古典显式格式解例2，以求解得t?0.1，h?1/20，r?h/k2变化时，T关于x，y的函数如上图5-1所示。采用古典显式格式解例1，以求解得t?0.1，h?1/20，

r?h/k2变化时，数值解与解析解间误差如下表5-1所示。

表5-1 古显格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20）

r=1/8 r=2/8 r=3/8 0 0 0 -0.00013 -0.00026 -2.4E+26 -0.00048 -0.00095 -4.3E+26 -0.0009 -0.0018 -5.5E+26 -0.00125 -0.00248 -6.1E+26 -0.00138 -0.00273 -6.3E+26 -0.00125 -0.00248 1.11E+27 -0.0009 -0.0018 -1E+27 -0.00048 -0.00095 -7.8E+26 -0.00013 -0.00026 -4.3E+26 0 0 0

r=5/8 0 9E+28 6.1E+29 9E+29 4.4E+29 1.3E+29 4.4E+29 1.7E+29 7.4E+29 9.3E+29 0

r=6/8 0 3.42E+32 4.72E+32 3.86E+32 2.39E+32 1.74E+32 2.39E+32 3.25E+32 2.58E+32 1.53E+32 0

r=7/8 0 4.17E+29 8.93E+29 9E+29 4.48E+29 4.84E+29 4.84E+29 8.16E+29 2.06E+29 5.41E+29 0

误差 x=0,y=0

x=0.1,y=0.1 x=0.2,y=0.2 x=0.3,y=0.3 x=0.4,y=0.4 x=0.5,y=0.5 x=0.6,y=0.6 x=0.7,y=0.7 x=0.8,y=0.8 x=0.9,y=0.9 x=1.0,y=1.0 r=4/8 0 -5.9E+29 -6.1E+29 -5E+29 -5.8E+29 -7.7E+29 -5E+29 -5.4E+29 -1E+29 -7.8E+29 0 r=1 0 4.48E+29 3.31E+28 5.95E+28 9.57E+29 8.93E+29 7.3E+29 1.54E+29 3.31E+28 8.16E+29

0

误差 x=0,y=0 x=0.1,y=0.1 x=0.2,y=0.2 x=0.3,y=0.3 x=0.4,y=0.4 x=0.5,y=0.5 x=0.6,y=0.6 x=0.7,y=0.7 x=0.8,y=0.8 x=0.9,y=0.9 x=1.0,y=1.0

根据图5-1，表5-1可看出，当r?h/k2?1/4时稳定。否则，格式可能不稳定。且r越大，越容易发生震荡。

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5.3.2 P-R格式格式的稳定性

采用P-R格式解例2，r由0变化到1时，不同的r时, u关于x，y的图像（t?0.1，

h??/20，r?h/k2?1/8）对比图如图5-2。采用P-R格式解例1，r由0变化到1时，不

同的r时, 数值解与解析解间误差（t?0.1，h?1/20，r?h/k2变化）对比如表5-2。

图5-2：P-R格式解例2，r变化 u关于x，y的图像（t?0.1，h??/20）

表5-2 P-R格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20）

r=1/8 r=2/8 r=3/8 0 0 0 8.86E-07 1.19E-06 -0.000464 2.05E-06 1.19E-06 -0.000883 1.48E-06 9.21E-07 -0.001214 -8.6E-07 9.66E-07 -0.001424 -1.4E-06 1.47E-06 -0.001497 -8.6E-07 1.18E-06 -0.001424 1.48E-06 1.47E-06 -0.001214 2.05E-06 2.05E-06 -0.000883 8.86E-07 1.47E-06 -0.000464

0 0 0

误差

x=0,y=0

x=0.1,y=0.1 x=0.2,y=0.2 x=0.3,y=0.3 x=0.4,y=0.4 x=0.5,y=0.5 x=0.6,y=0.6 x=0.7,y=0.7 x=0.8,y=0.8 x=0.9,y=0.9 x=1.0,y=1.0 r=4/8 0 -0.000489 -0.000928 -0.001275 -0.001497 -0.001574 -0.001497 -0.001275 -0.000928 -0.000489

0

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误差 x=0,y=0 x=0.1,y=0.1 x=0.2,y=0.2 x=0.3,y=0.3 x=0.4,y=0.4 x=0.5,y=0.5 x=0.6,y=0.6 x=0.7,y=0.7 x=0.8,y=0.8 x=0.9,y=0.9 x=1.0,y=1.0

续表5-2 P-R格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20）

r=5/8 r=6/8 r=7/8 0 0 0 -0.000464 -0.000396 -0.000288 -0.000883 -0.000753 -0.000548 -0.001214 -0.001034 -0.000753 -0.001424 -0.001214 -0.000883 -0.001497 -0.001275 -0.000928 -0.001424 -0.001214 -0.000694 -0.001214 -0.001034 -0.000753 -0.000883 -0.000753 -0.000548 -0.000464 -0.000396 -0.000288

0 0 0

r=1

0 -0.000152 -0.000288 -0.000396 -0.000464 -0.000489 -0.000464 -0.000396 -0.000288 -0.000152

0

由图5-2，表5-2可验证，对P-R格式而言，r取0～1中的任何数，该格式都是稳定的。

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结语

本文主要讨论抛物方程的有限差分法，系统阐述了抛物方程的的几种数值解法，介绍了有限差分法的基本思想，步骤，和广泛的应用。着重讨论了抛物方程的有限差分解法，分析了这些方法的收敛性和稳定性。以热传导方程为例，编程实现了使用古典显式格式和P-R格式解二维抛物方程。通过数值算例，验证了这两种格式的稳定性条件，当步长比

r?h/k2?1/4，古典显式格式稳定，否则可能不稳定；对任意步长比r，P-R格式都是稳

定的。

进一步确定了自己的研究方向：

实现差分格式步长自适应调整，可以提高计算结果的准确性，在不知道准确解的情况下，得到较准确的结果。

探究新的稳定性好，计算简单的差分格式。并进一步学习有限元法，有限体积法，有限单元法，无网格方法等算法。

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