二维抛物方程的有限差分法(5)

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4实例分析与结果分析

4.1算例

4.1.1已知有精确解的热传导问题

例1是二维Dirichlet边值问题的热传导方程

??T?2T?2T?2?2(0?x?1;0?y?1;0?t?T)??t?x?y?? (0?x?1;0?y?1)?T(x,y,0)?0?T(0,y,t)?T(1,y,t)?T(x,1,t)?T(x,0,t)?1(0?t?T)???方程的精确解为

exp(??2(k2?l2)t)T(x,y,t)?1?2??sin(k?x)sin(l?y)

?k?1,3,?l?1,3,?kl16??采用古典显示格式，以求解得t?0.1，h?1/20，r?h/k2?1/8时，T关于x，y的函数如图4-1所式。

2图4-1：古显格式解例1，T关于x，y的图像（t?0.1，h?1/20，r?h/k?1/8）

分别以古典显示格式，P-R(ADI)格式，以相同的步长(h?1/20，r?h/k2?1/8)求解

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同一处(t?0.1)的T与解析解间的差值，列在误差表中如表4-1，表4-1所示。

表4-1 古显格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20，r?h/k2?1/8）

误差 y=0 y=0.1 y=0.2 y=0.3 y=0.4 x=0 0 0 0 0 0 x=0.1 0 -0.00013 -0.00025 -0.00035 -0.00041 x=0.2 0 -0.00025 -0.00048 -0.00066 -0.00077 x=0.3 0 -0.00035 -0.00066 -0.0009 -0.00106 x=0.4 0 -0.00041 -0.00077 -0.00106 -0.00125 x=0.5 0 -0.00043 -0.00081 -0.00112 -0.00131 x=0.6 0 -0.00041 -0.00077 -0.00106 -0.00125 x=0.7 0 -0.00035 -0.00066 -0.0009 -0.00106 x=0.8 0 -0.00025 -0.00048 -0.00066 -0.00077 x=0.9 0 -0.00013

-0.00025

-0.00035

-0.00041

x=1 0 0 0 0 0 续表4-1 古显格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20，r?h/k2?1/8）

误差 y=0.6 y=0.7 y=0.8 y=0.9 y=1 x=0 0 0 0 0 0 x=0.1 -0.00041 -0.00035 -0.00025 -0.00013 0 x=0.2 -0.00077 -0.00066 -0.00048 -0.00025 0 x=0.3 -0.00106 -0.0009 -0.00066 -0.00035 0 x=0.4 -0.00125 -0.00106 -0.00077 -0.00041 0 x=0.5 -0.00131 -0.00112 -0.00081 -0.00043 0 x=0.6 -0.00125 -0.00106 -0.00077 -0.00041 0 x=0.7 -0.00106 -0.0009 -0.00066 -0.00035 0 x=0.8 -0.00077 -0.00066 -0.00048 -0.00025 0 x=0.9 -0.00041 -0.00035 -0.00025 -0.00013 0 x=1 0 0 0 0 0

表4-2 P-R(ADI)格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20，r?h/k2?1/8）误差 y=0 y=0.1 y=0.2 y=0.3 y=0.4 x=0 0 0 0 0 0 x=0.1 0 8.86E-07 1.19E-06 1.47E-06 6.44E-07 x=0.2 0 1.19E-06 2.05E-06 2.19E-06 9.66E-07 x=0.3 0 1.47E-06 2.19E-06 1.48E-06 9.21E-07 x=0.4 0 6.44E-07 9.66E-07 9.21E-07 -8.6E-07 x=0.5 0 1.18E-06 9.93E-07 3.37E-09 -1.4E-06 x=0.6 0 6.44E-07 9.66E-07 9.21E-07 -8.6E-07 x=0.7 0 1.47E-06 2.19E-06 1.48E-06 9.21E-07 x=0.8 0 1.19E-06 2.05E-06 2.19E-06 9.66E-07 x=0.9 0 8.86E-07 1.19E-06 1.47E-06 6.44E-07 x=1 0 0

0 0 0

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y=0.5 0 -0.00043 -0.00081 -0.00112 -0.00131 -0.00138 -0.00131 -0.00112 -0.00081 -0.00043

0

y=0.5 0 1.18E-06 9.93E-07 3.37E-09 -1.4E-06 -1.4E-06 -1.4E-06 3.37E-09 9.93E-07 1.18E-06 0

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2续表4-2 P-R(ADI)格式解例1的误差（t?0.1，h?1/20，r?h/k?1/8）

误差 x=0 x=0.1 x=0.2 x=0.3 x=0.4 x=0.5 x=0.6 x=0.7 x=0.8 x=0.9 x=1

y=0.6 0 6.44E-07 9.66E-07 9.21E-07 -8.6E-07 -1.4E-06 -8.6E-07 9.21E-07 9.66E-07 6.44E-07 0 y=0.7 0 1.47E-06 2.19E-06 1.48E-06 9.21E-07 3.37E-09 9.21E-07 1.48E-06 2.19E-06 1.47E-06 0

y=0.8 0 1.19E-06 2.05E-06 2.19E-06 9.66E-07 9.93E-07 9.66E-07 2.19E-06 2.05E-06 1.19E-06 0

y=0.9 0 8.86E-07 1.19E-06 1.47E-06 6.44E-07 1.18E-06 6.44E-07 1.47E-06 1.19E-06 8.86E-07 0 y=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4.1.2未知精确解的热传导问题

例2是二维Dirichlet边值问题的热传导方程。

??u?2u?2u??2?2?t?x?y?? ?u(x,y,0)?sin(x)?u(0,y,t)?u(?,y,t)?u(x,?,t)?u(x,?,t)?0???0?x,y??;0?t?1采用古典显式格式，以求解得t?1，h??/20，r?h/k2?1/5时，u关于x，y的函数如图4-2所式。

2图4-2：古显格式解例2，u关于x,y的图像（t?1，h??/20，r?h/k?1/5）

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采用P-R格式，t由0变化到1时，不同的t, u关于x，y的图像（t?1，h??/20，

r?h/k2?1/8）对比图如图4-3。

2图4-3：P-R格式解例2，t变化 u关于x，y的图像（h??/20，r?h/k?1/5）

4.2结果分析

由例1，可看出，古显格式和P-R格式精度都较高，且P-R格式较古显格式更接近解析解。由例2，可由结果图4-2看出u的大致图形，由图4-3可看出u随时间的推移，温度渐渐靠近边界的温度。可见，数值方法也能一定程度上反应解的情况。

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5稳定性探究与分析

5.1稳定性问题的提出

考虑数值算例例1，例2，用古典显示格式和P-R格式解时，不同的r可能导致影响格式的稳定性。以例2分析，采用古典显式格式，以求解得t?0.1，h?1/20，r?h/k2变化时，T关于x，y的函数如图5-1所示。

图5-1：古显格式解例2，u关于x，y的图像（t?0.1，h??/20）

下面我们先研究准确解和微分方程的解之差，时随着时间层数n的增大而无限增大还是有所控制。如果这种差别是无限增加的，则差分格式不稳定，不稳定的格式是不可用的。

5.2 几种分析稳定性的方法

随着人们对差分格式的深入研究，发展了以下几种稳定性研究方法。

00

即把Um改成了Um+?，而在?-图研究法是在假定在固定的某节点上引入一个误差?，

00

这一层上其他节点的值保持不变，且假定计算时没有引入误差，我们探究此时误差是否会无限增大的方法。稳定性分析的矩阵方法，采用矩阵的2范数，来衡量稳定性。

Fourior级数法引进Fourior级数，通过考察增长因子来考察稳定性。Fourior级数法又称为Von-Neumann方法。在判断有限差分近似的稳定性方法中，以Fourior方法使用较为

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