二维抛物方程的有限差分法(3)

华北电力大学本科毕业设计（论文）

2显式差分格式

现在，对二维抛物方程式(1-1) ，从方程式(1-4)出发，构造有限差分的显式格式。由于一维热传导方程

2?u2?u?a (2-1) ?t?x2

二维热传导方程

2?u?2u2?u?a(2?2) (2-2) ?t?x?y在热传导，磁扩散等许多领域有重要的应用。实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法中它们也必须差分化。因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组成的代数方程组。又称为差分格式[3]。

2.1常系数热传导方程的古典显式格式

首先考虑热传导方程的边值问题

2??u?2u2?u??t?a（?x2??y2)???u(0,y,t)?u(L,y,t)?u(x,0,t)?u(x,L,t)?0 ?u(x,y,0)?f(x,y)???离散化

u0j，m?u(0,m,jk)?uLj，m?u(L,m,jk)?0

jjul，?u(l,0,jk)?u0l，M?u(M,m,jk)?0

ul0,m?u(lh,mh,0)?f(lh,mh)?fl,m[15]

2.1.1古典显式格式格式的推导

现在对热传导方程式(2-1) 推导其最简单的显隐式差分逼近——古典显隐式格式。 由

?122uln,m?exp(kDx?kDy)uln,m

故

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11?12244uln,m?uln,m(1?kDx?kDy?k2Dx?k2Dy??)

2211222式中右边如果仅保留二阶导数项，且以2?x2替代Dx，2?y替代Dy，则得差分格式

hhkk?1Uln,m?Uln,m(1?2?x2?2?y2)

hh或者

?1Uln,m?(1-4r)Uln,m?r(Uln?1,m?Uln?1,m?Uln,m?1?Uln,m?1) (2-3)

r?h/k2

这是一个显式格式(四点格式)，如图(2-1)所示。

图2-1：古典显式格式

格式(2-3)应用在一维热传导问题中，得到古典显式格式为：

n?1nnnUm?rUm?1?(1?2r)Um?rUm?1 (2-3)

每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解得到的。显一隐格式区域分解方法就是以显格式计算出相邻子区域相交内边界的近似值的一种方法。显一隐格式区域分解方法综合了二者的优点，借助前一层数值解的信息，用显格式给出在这—层的子问题的未知内边界条件，把一个整体区域上的问题化为若干个子区域上的子问题，在每个子区域上用隐式方法求解，从而实现了并行。这可以从下面的计算过程看出来[8]。

2.1.3古典显式格式的算法步骤

古典显式格式，以m=1为例，列成矩阵有如下形式：

100000?u1,1?(1?4r)u1,1?r(u0,1?u2,1?u1,0?u1,2)?100000?u2,1?(1?4r)u2,1?r(u1,1?u3,1?u2,0?u2,2)?100000 ?u3,1?(1?4r)u3,1?r(u2,1?u4,1?u3,0?u3,2)???00000?u1L?1,1?(1?4r)uL?1,1?r(uL?2,1?uL,1?uL?1,0?uL?1,2)?系数矩阵为

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r?1?4r???r1?4rr???? ???r1?4rr???r1?4r???为了得到二维问题的误差估计，我们做一些改动。因此，这个算法从un到un?1的计算步骤为：

第一步，根据给出的初边值条件，得出t=0时u0；

?1第二步，根据古典显式格式的公式，Uln,m?(1-4r)Uln,m?r(Uln?1,m?Uln?1,m?Uln,m?1?Uln,m?1)，

由第un得出un?1[6]。

下文中将通过一个具体的数值例子说明了计算的方法，体现了这种格式的实用性和优越性。

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3隐式差分格式

与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了(n+1)时间层上二个或二个以上结点处的

n?1n?1n?1未知值(例如 Um,U,U?1mm?1)，使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相

对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而这正是我们所期望的[6]。

对二维抛物方程式(1-1) ，从方程式(1-4)出发，构造有限差分的显式格式。由于热传导方程式(2-1)构造差分格式。我们需要研究的不仅是差分方程本身，而且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组成的代数方程组。又称为差分格式。

3.1古典隐式格式

现在对热传导方程推导其最简单的隐式差分逼近——古典隐式格式。由

?122uln,m?exp(kDx?kDy)uln,m

故

22n?1nexp(?kDx?kDy)um?umun?1m 124124?u(1?kD?kD?kDx?kDy??)22nm2x2y式中右边如果仅保留二阶导数项，且以则得差分格式

121212222???替代，且以替代，替代，DDDxxyxxy222hhhk2k2?x?2?y) h2hn?1nUm?Um(1?或者

?11n?1n?1n?1n(1?4r)Uln,m?r(Uln??1,m?Ul?1,m?Ul,m?1?Ul,m?1)?Ul,m (3-1)

r?h/k2

将格式(2-3)应用于一维热传导方程，古典显式格式为：

n?1nnnUm?rUm?1?(1?2r)Um?rUm?1 (3-2)

显式与隐式的比较如下[6]：

(1)同一阶数下，隐式的局部截断误差的系数的绝对值比显式的要小； (2)显式的计算工作量比隐式的小；

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(3)隐式的稳定范围比显式的大。

局部截断误差的阶最高是3，式(3-2) 是允许函数任意变化情况下截断误差最小的二阶方法。要再提高阶就必须增加计算函数值的次数。上述式(3-2)又称为古典隐式格式。

故格式用图3-1表示，其截断误差阶为O(k2?h2),与古典差分格式相同。这是一个四点差分格式，如图3-1所示。

图3-1：古典隐式格式

为了求得第(n+1)时间层上的Un?1的值，必须通过解线性代数方程组。

这是一个隐式差分格式，必须联合其初边值条件求解。格式(3-2)通常称为古典隐式格

22式。我们也可以通过直接用差分算子代替 Dx,Dx ,Dy,Dy的方即：

n?1n?un?1ul,m?ul,m()l,m??tkn?1n?1n?1?2un?1ul,m?1?2ul,m?ul,m?1(2)l,m? ?yh2n?1n?1n?1?2un?1ul?1,m?2ul,m?ul?1,m(2)l,m??xh2代入微分方程，得到格式(3-1)。

古典隐式格式的方程组和矩阵形式如下：

当知道第n层上的uij时，要确定第n+1层上各点值uij?1必须通过求解一个线性代数方程组。以m=1为例：

j?1j?1j?1j?1j?1j?(1?4r)u1,1?r(u0,1?u2,1?u1,0?u1,2)?u1,1?j?1j?1j?1j?1j?1j?(1?4r)u2,1?r(u1,1?u3,1?u2,0?u2,2)?u2?j?1j?1j?1j?1j?1j ?(1?4r)u3,1?r(u2,1?u4,1?u3,0?u3,2)?u3,1???j?1j?1j?1j?1j?1j?(1?4r)uN?1,1?r(uN?2,1?uN,1?uN?1,0?uN?1,2)?uN?1,1?其系数矩阵如下：

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