二维抛物方程的有限差分法(4)

华北电力大学本科毕业设计（论文）

?r?1?4r???r1?4r????????r?? ???r1?4r?r??r1?4r??3.2 Crank-Nicolson隐式格式

Crank-Nicolson隐式差分格式是解热传导方程(2-1)的常用的差分格式，近年来，关于抛物方程的区域分解算法作为并行计算的一种有效工具，吸引了很多学者的注意。这类算法的主要困难在于；如何定义内边界点的值和在子区域上选取合理的计算解去近似。为了推导它，由式（1-4），有

11?1exp(?kL)uln,m?exp(kL)uln,m

22由

22 L?Dx?Dy得

121211221122121211221122n?1[1?kDx?kDy?(kDx)?(kDy)??]um?[1?kDx?kDy?(kDx)?(kDy)222222222222??]uln,m (3-3) 两边仅保留前二项，用

121222??y替代Dy代替，，则得差分格式 Dxx22hh111?1(1?r?x2?r?y2)Uln,m?(1?r?y2)Uln.m

222这是一个隐式差分格式，称为Crank-Nicolson差分格式，截断误差阶为?(k2?h2)，也可写为

11?1?1n?1n?1n?1nnnnn(1?2r)Uln,m?r(Uln,m?U?U?U)?(1?2r)U?r(U?U?U?U?1l,m?1l?1,ml?1,mml,m?1l,m?1l?1,ml?1,m)

44(3-4)

由于格式（3-4）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图3-2所示）。

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图3-2： Crank-Nicolson隐式格式

也可将

n?1nu?u?un?1l,ml,m()l,m2??tkn?1n?1n?1nnnu?2u?uu?2u?u?2un?11l?1,ml,ml?1,ml?1,ml,ml?1,m(2)l,m2?(?) 22?x2hhn?1n?1n?1nnnu?2u?uu?2u?u?2un?11l,m?1l,ml,m?1l,m?1l,ml,m?1(2)m2?(?)22?y2hh代入微分方程(2-1)，得到Crank-Nicolson格式。解微分方程(2-1)，根据Crank-Nicolson格式得到的方程组： 11?1?1n?1n?1n?1n(1?2r)Uln,m?r(Uln,m?U?U?U)?(1?2r)U?r(Uln,m?1?Uln,m?1?Uln?1,m?Uln?1,m) ?1l,m?1l?1,ml?1,ml,m44 其矩阵表达式为：

j?1j????uu1?r?r/21?rr/211??1，??1，???uj?1????uj???r/21?rr/2?11??r/21?r?r/2??2，??2，???? ????????????j?1????j?????r/21?r?r/2??uN?1，r/21?rr/2??uN?1，?11?j?1??????j????r1?2r?r/21?2r?????1?1??uN，?uN，3.3 Douglas差分格式[6]

基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分格式，如

22在前式(3-3)中仅保留直到Dx，Dy的项，即有：

112n?1112n(1?kDx2?kDy)ul,m?(1?kDx2?kDy)ul,m

2222可令

Dx2uln,m?2nDyul,m1212n?(1??x)ul,m2xh12

1212n?2?y(1??y)ul,mh12则可得：

1212?1?(1??x)xh212

112Dy?2?y2(1??y2)?1h12Dx2?代入上式，则有如下差分格式

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11111111?1[1?(r?)?x2?(r?)?y2]Uln,m?[1?(r?)?x2?(r?)?y2]Uln,m (3-5)

26262626它称为Douglas差分格式，具有截断误差阶O(k2?h4)。精度较高的差分格式(Douglas格式),并通过一个具体的数值例子说明了计算的方法,体现了这种格式的实用性和优越性。

3.4加权六点隐式格式[9]

前面，我们已经推导了热传导方程(2-1)的古典显式显示格式，古典隐式格式及Crank-Nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。由

?122uln,m?exp(kDx?kDy)uln,m

得

22?122exp(??kDx??kDy)uln,m?exp[(1??)kDx?(1??)kDx]uln,m,0???1

即

111124?124[1??kDx2??kDy??2k2Dx4??2k2Dy??]uln,m?[1?(1??)kDx2?(1??)kDy?(1??)2k2Dx?22224(1??)2k2Dy??]uln,m

两边去掉高于二阶导数的项，且用

121222??代替，替代，则得差分格式 DDxyxy22hh2?12(1??r?x2??r?y)Uln,m?[1?(1??)r?x2?(1??)r?y]Uln,m

或者

?1nnn?1n?1n?1n?1(1?2r?)Uln,m?r(1??)(Uln,m?1?Uln,m?1?Um,l?1?Um,l?1)?r?(Ul,m?1?Ul,m?1?Um,l?1?Um,l?1)?[1?

2r(1??)]Uln,m,0???1 (3-5) 这是一个六点差分格式（如图3-3所示），称为加权六点差分格式。

?1??

图3-3：加权六点差分格式

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3.5交替方向隐式格式

交替方向隐式格式是关于x方向的显格式，关于y方向的隐格式。在n+1/2层上用古典显式格式计算出过度值ujn?12，再在n+1层上用古典隐格式校正预测值。得到的稳定性

和收敛性是相近的。但是，只讨论了关于常系数热传导方程的在z和可方向都是相同的时间步长的情形，所以我们在这里试图做一些扩展。我们首先考虑在内边界点用一个方向为显格式，另一个方向为隐格式的情形，再考察在z和y方向都用显格式的情形，而且我们讨论在z和可方向用不同的时间步长的情形[6]。

3.5.1 Peaceman-Rachford格式

r?h/k2考虑二维抛物方程(2-1)的差分解法，以上对显式格式的稳定性分析发现，

的要求比一维情形更苛刻。分析表明，维数越高时，要求时间步长越小，计算工作量越大[3]。

(P-R)ADI格式是由Peaceman-Rachford在1995年发表的，从第n层到n+1层，P-R格式分两步进行，每一步只需解具有三对角系数的线性方程组[6]。P-R格式为

(1)?1/2Ul*,n?Uln,mmk/2?1?1/2Uln,m?Ul*,nm?12*n?12n(?U??Ul,m) (3-6) xl,my2h12*n?1/22n?1(?xUl,m??yUl,m) (3-7) 2h(2)k/2?nnn，?yul,m?ul?1/2,m?ul?1/2,m ?x，?y是中心差算子，?xuln,m?uln,m?1/2?unl,m?1/2P-R格式对任意r>0无条件稳定。但预测P-R格式对三个变量空间问题，无条件稳定性不再成立[3]。

3.5.2 Rachford-Mitchell格式

Douglas和Rachford在1956年提出另一个隐式差分格式，即Douglas-Rachford格式

[6]

。D-R格式是第一个能被推广到三维情形的交替方向隐式格式，二维D-R格式是

?1nUl*,nm?Ul,mk?1?1Uln,m?Ul*,nm??1*n?1*n?1Ul*?n1,m?2Ul,m?Ul?1,mh21n?1n?1Uln??1,m?2Ul,m?Ul?1,m?Uln,m?1?2Uln,m?Uln,m?1h2Uln,m?1?2Uln,m?Uln,m?1h2 (3-7)

k?h2? (3-8)

3.5.3 Mitchell-Fairweather格式

Mitchell和Fairweather在1964年推导了一个高精度ADI差分格式，称为M-F格

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式[6]。M-F格式截断误差达O(k2?h4)较之P-R格式和D-R格式更好，且无条件收敛[3]。

3.5.4 交替方向隐式格式的算法步骤

ADI格式的算法步骤与古典显式格式的算法步骤相似，只是ADI格式是隐式格式，需用追赶法求解。追赶法是适用于三对角矩阵的线性方程组求解的方法，并不适用于其他类型矩阵。

第一步，根据给出的初边值条件，得出t=0时u0;

第二步，根据各个交替方向隐式格式中的第一个公式，由第un求得出un?1/2如式(3-6)，

1采用追赶法，确定追赶因子a=1+r/2,b= r/2,c=1+r/2,d=(1?2r)Uln,m?r(Uln,m?1?Uln,m?1?Uln?1,m,

4nnn0n+1/2n+1/2n+1/2= d -*; ?Ul?1,m)wm=b-a*u,gm=(d-u*a)/w,然后根据追赶因子确定u。uM=gM,umgu?1mm第三步，再由追赶法由第un?1/2求得出un?1[6]。

由该算法，计算un的近似解的过程。下文中将通过一个具体的数值例子说明了计算的方法,体现了这种格式的实用性和优越性。

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