二维抛物方程的有限差分法(2)

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有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式[1]。

有限体积法(Finite Volume Methods)又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列互不重叠的控制体，并使每个网格点周围有一个控制体；将待求解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。该方法的未知量为网格点上的函数值。为了求出控制体积的积分，须假定函数值在网格点控制体边界上的变化规律。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于有限元方法中检验函数取分片常数插值的子区域法；从未知量的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法[1]。

有限单元法的基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解[1]。无网格方法的近似函数建立在一些离散的节点上，不需要借助网格，在涉及到网格畸变，网格移动等问题中显示出了明显的优势[1]。

1.2.2有限差分方法的发展

随着人们对显示格式的进一步研研究，提出了很多新的高精度，绝对稳定的差分格式。文献2讨论了变系数热传导方程的两层绝对稳定差分格式。研究了二维变系数非齐次热传导方程的两层绝对稳定的差分格式问题。首先运用Pade逼近导出了差分格式,给出了差分格式的截断误差;讨论了差分格式的绝对稳定性和收敛性,且收敛阶为O(k2?h4);最后给出了数值例子,数值结果和理论结果是吻合的。

文献3第一部分用待定系数法对P维抛物型方程(P?1,2,3,4)构造出了高精度(截断误差达O(k2?h4))能显式计算，稳定性较好(r?1/2)的三层(特殊情况下可以是两层)显式差分格式，在空间变量更多的情况下，指出了构造高精度差分格式的一般方法。

文献3第二部分用算子方法对二维和三维抛物型方程构造出了高精度(截断误差达

O(k2?h4))的绝对稳定的交替方向隐式差分格式，在空间变量更多的情况下，也指出了构造高精度交替方向隐式差分格式的一般方法。并附有数值例子，它表明理论分析的正确性和所建立的差分格式的有效性。

文献4对二阶抛物型方程构造了一族含参数高精度三层差分格式。当参数满足一定的条件时,差分格式绝对稳定，其局部截断误差阶数最高可达O(k2?h4)。适当地调节参数，可以得到一个七点显式差分格式和一个两层六点隐格式。数值例子表明,对稳定性所作的分析是正确的。

文献5多维抛物型方程和双曲方程的差分解法对一般m维热传导方程，波动方程的初、

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边值问题，提出若干个交替方向的差分格式。

1.3差分格式建立的基础[6]

1.3.1区域剖分[14]

构造一维线性抛物方程

（x,t） ??u??u?u?(（ax,t）)?（bx,t）?（cx,t）u (1-2) ?t?t?x?x的有限差分逼近，首先将求解区域?用两组平行于x轴和t轴的直线构成网格覆盖，网格边长在x方向为?x?h，t方向为?t?k，网格节点为(xm,tn)，xm?mh,tn?nk，m,n为整数[6]。网格如图1-1。

图1-1 一维抛物方程的网格剖分

二维抛物方程的区域剖分将剖分区域扩展到三维空间。首先将求解区域V用三组平行于x轴，y轴和t轴的直线构成网格覆盖，网格边长在x方向为?x?h，y方向为

?y?h，t方向为?t?k，网格节点为(xl,ym,tn)，xl?lh,ym?mh,tn?nk，l,m,n为整数[3]。

网格如图1-2[6]。

图1-2 二维抛物方程的网格剖分

1.3.2差商代替微商

差分方法的基本思想就是以差商代替微商。考虑如下两个Taylor公式： 1113n?n1)?u(t)??u(t)?h??u(2)t?h???u()?t?h?n()u()t?h u(t?h ( O h ) (1-3)

2!3!n!3

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u(t?h)?u(t)?u?(t)h?111u??(t)h2?u???(t)h3???u(n)(t)hn?O(hn?1) (1-4) 2!3!n!u?(ti)?u(ti?1)?u(ti)?O(h) h从式(1-3)得到：

从式(1-4)得到：

u?(ti)?

u(ti?1)?u(ti)?O(h) h从式(1-3) -式(1-4)得到：

u?(ti)?u(ti?1)?u(ti?1)?O(h2)2h从式(1-3) +式(1-4)得到：

u(ti?1)?2u(ti)?u(ti?1)2??u(t)??O(h) i2h下表1-1面介绍常用的几种差商[6]。

表1-1：常用的几种差商形式

有限差分近似公式 ur?ur?1（向前差分） hur?1?ur（向后差分） hur?1/2?ur?1/2（中心差分） 2h

误差阶 O(h) O(h) O(h2) 由式(1-1)可得：

n?1n (1-5) um?exp(kL)um1.3.3差商代替微商格式的误差分析

为了分析分析数值方法的精确度，考察收敛性。常常在ui?u(ti)成立的假定下，估计误差ei?1?u(ti?1)?ui?1这种误差称为“局部截断误差”局部截断误差是以点ti的精确解u(ti)为出发值，用数值方法推进到下一个点ti?1而产生的误差[8]。若如下：

h2h2u(ti?1)?u(ti)?hu?(ti)?u??(?)?u(ti)?hf(ti,u(ti))?u??(?) (1-6)

22h2ei?1?u(ti?1)?ui?1?u??(?)?O(h2) (1-7)

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局部截断误差是关于hn的极小函数，则收敛[13]。

为了分析分析数值方法的精确度，考察收敛性。整体截断误差是以点t0的初始值的偏差：?i?1?u(ti?1)?ui?1称为整体截断误差[8]。若如下：

为出发值，用数值方法推进i+1步到点ti?1，所得的近似值ui?1与精确值u(ti?1)

ui?1?ui?hf(ti,ui)

?i?1??i?h[f(ti,u(ti)?f(ti,ui)]?Dh2

h2ei?1?u(ti?1)?ui?1?u??(?)?O(h2)

2?i?1??i?h[f(ti,u(ti)?f(ti,ui)]?Dh2

?i?1??i?hL?i?Dh2

?i?1?(1?hL)i?1?0?Dh2[1?(1?hL)?(1?hL)2???(1?hL)i]

?(1?hL)i?1Dh2?0?[(1?hL)i?1?1][14]

hL整体截断误差不随?0无限扩大，则收敛。

1.4本文主要研究内容

本文主要研究二维抛物方程的有限差分方法，研究工作分为以下四个方面： 1)差分格式的构造方法

有限差分法法解二维抛物方程包括区域剖分和差商代替导数两个过程。差分格式就是在网格结点上求出微分方程的近似解的一种方法，因此又称为网格法。

2)差分格式的分析方法

数值方法是近似计算方法，需从收敛性，相容性，稳定性方面考察。收敛性是考察步长足够小时，数值解是否无限逼近 解析解。稳定性主要最初产生的小误差在以后的计算中虽然会传递下去，但不会无限制的扩大。

3)显式差分格式

显式差分格式是差分方法中可逐层逐点分别求解的格式，是一种有限差分近似方法。显式差分格式的优点在于计算简单，但它并不总是稳定的。

4)隐式差分格式

与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点

n?1n?1n?1处的未知值（例如 Um，使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。,U,U?1mm?1）

相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而

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这正是我们所期望的。

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