光学设计第08章 单色像差(3)

所以，慧差与孔径光阑的位置有关。

慧差值还与透镜形状有关，如图8－14所示，弯月形透镜对轴外点B成像，上光线a和两个折射面的辅轴较为接近，偏折小；而下光线b偏离两折射面的辅轴较大，故偏折较大；主光线P通过透镜的节点附近，方向基本不变。因此，光线a/，b/的交点必在主光线之上，慧差值为正。

如果把正弯月镜反向放置，如图8－15所示，下光线b偏离两折射面的辅轴较上光线a为小，折射后的光线a/较b/的偏折大，主光线的方向近似不变，故光线a/，b/的交点BT/应在主光线之下，慧差值为负。

如把两个弯月形透镜凹面相对，并在中间设置孔径光阑，如图8－16所示。当物像的倍率为－1时，从光阑所在空间来看，透镜L1的上、下光线分别与透镜L2的下、上光线相同，因而两透镜产生相反符号的慧差值，可以完全相消。这种结构就是对称式照相物镜的雏形。

图8－16 一对单弯月透镜消除慧差

§3 正弦差

轴上物点经光学系统成像后，只有球差；轴外物点成像存在慧差。对于邻轴物点（小视场），其慧差用正弦差来量度。这种近轴物点的像差性质要比远轴物点的像差简单得多。

一 正弦条件

正弦条件是：当光学系统对轴上物点成完善像时（消球差），使在垂轴方向上无限靠近的物点也成完善像的充分必要条件。也就是说，如果光学系统满足正弦条件，就能对小视场物面完善成像。正弦条件可由费马原理导出。

如图8－17所示，光轴上的物点A成完善像于A/，B是在过A的垂轴方向上无限靠近A的一点，设它也被系统成完善像于B/点。分别以h和h表示AB和A/B/。

过A点的光线OA与光

轴成U角，其共轭光线OA 图8－17 正弦条件 与光轴成U角。过B点光线

OB与光轴成U?dU角，其共轭光线O/B/与光轴成U/?dU/角。

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/

///根据费马原理，光程（OAA/O/）应与光程（OBB/O/）相等，即： n?OA?(AA/)?n/?O/A/?n?OB?(BB/)?n/?O/B/。 故有：n?(OA?OB)?n/?(O/A/?O/B/)?(BB/)?(AA/)

以O点为中心，OA为半径作圆弧。交光线OB于E点，因dU角极小，从?ABE可得： OA?OB?BE?AB?sin(?U)??h?sinU

同理，在像方可得：O/A/?O/B/?B/E/??h/?sinU/ 两式可得

n?h?sinU///?nhsinU?(BB)?(AA)

//因A/和B/分别使A和B的完善像，根据费马原理，其间的光程各为极值，即：

//?(AA)??(BB)?0

因此，光程（AA/）和（BB/）各为常数，二者之差也为常数，与U角无关的常数，取

U?U//?0的这条沿光轴的光线计算，该常数为0，得

//nhsinU?nhsinU

这就是正弦条件。这是光学系统对垂轴小面积成完善像所需要满足的条件。或者说，当轴上点能以宽光束成完善像时，若满足此条件，过该点的垂轴小面积上的其他点也能以宽光束成完善像。

正弦条件还可以表示成

nsinUnsinU//??

其中，?为按近轴光线所算得的放大率。

当物体位于无穷远时，sinU?0,正弦条件能表示成另一种形式。以并有lsinU?h，可得正弦条件为：

hsinU/(l?f)f代替?，

?f

/式中f/为按近轴光线所算得的焦距。

二 等晕成像

正弦条件是以轴上物点完善成像为前提的，但实际的光学系统仅能对物点发出的光束中的一个带或二个带的光线校正球差，因此，即使是轴上点也不能是真正的完善成像，轴外近轴物点也不可能完善成像，充其量只能要求它的像质与轴上点一致，即具有相同程度的成像缺陷，这称之为等晕成像。

既然轴上物点成像时只有沿光轴方向的球差，那么，根据等晕成像的要求，在垂直于光轴的平面上与之无限靠近的轴外物点，首先也必须与轴上点具有相同的沿光轴方向的球差。

/A0表示近轴光线与光轴交点如果以A/点表示轴上物点A发出的边缘光束与光轴的交点。（高斯像点）。那么，等晕成像首先要求，轴外垂轴物点B发出的光束，必须成像于过A/点且在

垂轴的平面内，才能满足A和B的成像具有相同的沿轴方向的球差。

然而，由于轴外物点光束通过光学系统后失去对称性，轴外物点的宽光束虽成像于过A/点的垂直平面内，但它们一般不可能都成像于主光线与A/的垂轴平面的交点B/处，这种像差就是慧差。如图8－18所示，慧差分别在子午和弧矢平面上度量，以主光线两侧且对称于

//主光线的成对边缘光线在像空间的交点Bt和Bs相对于主光线沿垂轴方向的偏离来表示，

BtB称为子午慧差，BsB称为弧矢慧差。因为轴上物点A的像点A/不存在慧差，因此，

////轴外近轴物点的慧差是光学系统不满足等晕条件的标志。

///// 通常用弧矢慧差(即Ks?BsB)与AB的长度之比来描述光学系统对等晕条件的偏离程度，用OSC表示，称为正弦差，即

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ABAB式中hs/是一对弧矢边缘光线交点的高度。

OSC?Ks///?hs///?1

图8－18 轴外物点的子午慧差和弧矢慧差

/ 如图8－19所示，Bs是近轴物点B发出与轴上物点A相同孔径角的一对弧矢光线经折射球面后的交点。由于弧矢光线对称于子午平面，它一定在子午平面内，且位于辅轴BC上。显然有 hs/hs?L?rL?r/由于:?L?rsinI??sinU?r?n?/?sinI?/?sinIn?/?L/?r?r?sinI/?sinU?经过简单的代换有n?hs?sinU即:hs?////

:?n?hs?sinUsinU?hs//nsinU 图8－19 弧矢光线在子午面内成像

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n?考虑到球差的存在，物AB在高斯像面的成像为A0/B0/，如图8－20所示，其像高为h/，并且h?hs（物高，如图8－19所示）。

h///AB?l?lpL?l//p//故得:hs///AB?l?lpL?l//p//?nn/?sinUsinU/?hsh/?l?lpL?l//p//?nn/?sinUsinU/?hh/

图8－20 弧矢光线在子午面内成像与高斯像

而h//h是近轴物体在高斯像面成像的放大率，有

hh?M?nunu//故得::?hs///AB?l?lpL?lp////?uu/?sinUsinU/因此,正弦差表示为OSC?sinUsinU/

/p/p/?uu/l?lL?l//?1/

/式中：u和u是近轴光线的初始和最后孔径角，U和U是边缘光线的起始和最后孔径角，l/是近轴光线的像方截距，L/是边缘光线的像方截距，lp是轴外主光线的像方截距（由最后表面顶点到出瞳之距）。

如果OSC＝0，表示系统满足等晕条件。当轴上物点由于球差而不完善成像时，满足此条件可使垂轴小面积等晕成像。 当物体处在无限远时，

l??,sinUu?1,u?/yf//

则正弦差为

OSC?yf/?sinU/?l?lpL?lp///?1

正弦差表示式中的量，可通过近轴光线和子午面内的光线的光路计算来求得。

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三 慧差系数

光学系统中每个表面对正弦差均有不同的贡献，而且每个表面的正弦差由两部分组成，一部分是该折射面以前的正弦差，经过转面后的贡献；另一部分是该表面本身产生的正弦差。正弦差的转面倍率选为：

ni?upi?sinUi MOSC?///ni?upi?sinUi由此可以得到

(lpi?Li)?//ni?upi?sinUini?upi?sinUi///*(lpi?Li)?Zi

式中Zi*是该表面本身产生的正弦差。

令:?则:?1212/(S二)i?ni?upi?sinUi?Zi//////?

/(S二)i?ni?upi?sinUi?(lpi?Li)?ni?upi?sinUi?(lpi?Li)/对于由多个表面组成的光学系统，各个表面的贡献为：

n1?up1?sinU1?(lp1?L1)?n1?up1?sinU1?(lp1?L1)?n1?up1?sinU1?Z1

n2?up2?sinU2?(lp2?L2)?n2?up2?sinU2?(lp2?L2)?n2?up2?sinU2?Z2

////////?///////? . . . ////////?nk?upk?sinUk?(lpk?Lk)?nk?upk?sinUk?(lpk?Lk)?nk?upk?sinUk?Zk 再由转面公式，求和后得到：

n?u/k/pk/k/pk/k?sinU?(l?L)?n1?u1?sinU1?(lp1?L1)??1K二(S?2i?1)i

式中，S二为慧差系数。同样，慧差系数也可以化简为：

S二?l?n?lp?sinU?(sinI?sinU)?(sinI?sinI)cosI?U2cosI?U2///cosI?I2/

§4 像散和像面弯曲

轴外细光束通过光学系统后，在像方空间形成两条垂直的焦线。一条是由子午光线形成

的垂直于子午面的子午焦线；一条是由弧矢光线形成的在子午面内的弧矢焦线。当子午焦线和弧矢焦线不重合时，就产生了像散。

轴外细光束可以通过小孔经的入射光瞳来实现。而光学系统是对物面成像，物面上的不同发光点（不同视场点），用细光束在像空间成像，其像散值将不会一样，因此，一个物平面通过光学系统后在像空间所成的像不再是平面，而是曲面，这就是像弯曲，也称为场曲。由子午像点构成的曲面，称为子午像面；由弧矢像点构成的曲面，称为弧矢像面。

一 像散.

如图8－21所示，轴外物点的无限细光束通过光学系统后在不同的位置放置接收屏，将得到不同的像。在位置1时，像截面为一长轴垂直于子午面的椭圆；位置2时，像截面为一垂直于子午面的短线（子午焦线）；在位置3时，像截面为长轴垂直于子午面的椭圆；在位置4时，像截面为一圆；在位置5时，像截面为长轴在子午像面内的椭圆；在位置6时，像截面为一在子午面内的短线（弧矢焦线）；在位置7时，像截面为长轴在子午面内的椭圆。

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