光学设计第08章 单色像差

第八章 单色像差

光学系统以单色光成像时，可产生五种性质不同的像差，它们是球差、慧差、像散、像面弯曲和畸变，通称为单色像差。这些单色像差中，有的仅与孔径有关，只有当成像光束孔径角加大时才产生；有的仅与视场有关，只有当成像范围加大时才产生；有的则与孔径和视场均有关。

§1 球差

一 球差的基本概念

如图8－1所示,由轴上物点A发出的近轴光线1和1/,经过光学系统后,交轴上点A/；由

A发出的上、下边缘光线3和3经过光学系统后，交轴上于C点；由A点发出的上、下带

//

光线（Uz?0.707UM）2和2/经过光学系统后，交光轴于B/点。它们的后截距分别为

l,LM,LZ。

/// 图8－1 轴上物点单色光成像引起的像差――球差

由轴上物点所发出的光线经过光学系统后，在光轴上不能交于一点，这是因为光学系统的孔径大而引起的，这就是球差。

///如果我们以近轴交点为参考点，那么边缘光线的纵向球差为：LAM?LM?l

带光线的纵向球差为：LAZ?LZ?l

如果LAM?0,球差为负，称为欠校正球差；如果LAM?0，球差为正，称为过校正球差。

为了更直观地表征因球差引起的像点的弥散程度，常常采用横向球差的概念，它们是纵向球差在近轴像面上的投影（弥散），数学表达式为

TLAM?(LM?l)?tanUM?LAM?tanUM TLAZ?(LZ?l)?tanUZ?LAZ?tanUZ

/////////////////当用一个光屏沿着光轴移动时，在屏上所得到的像为不同大小的弥散斑。如图8－1所示。

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二 球差表达式

光学系统的球差值是通过对整个系统进行光路计算求得的。系统的总球差值是各个折射面累加而得，即每个折射面对系统的总球差值均有“贡献”。这些贡献量就是系统的球差分布。

图8－2 球差的传递与单球面的球差

如图8－2所示，在光学系统中某个折射表面以前的各个折射面产生的球差设为LA，是该折射面的物方球差，其后面的球差LA/为像方球差。LA/不能认为是给定折射面产生的球差值，它包含了前面几个折射面的球差贡献；也不能认为是该折射球面前几个球面产生的球差的简单累加。实际上，该球差由两部分组成，一部分是该折射面本身产生的球差，以?*表示；另一部分是折射面物方球差（前几个前球差累积）LA乘以该折射面的转面倍率M而得，因此

/*LA???M?LA 科尔伯（A.Kerber）选择 ___n?u?sinU?Mn/?u/?sinU/

作为轴向像差的转面公式。则单球面的球差表示为：

??LA?*/n?u?sinUn?u?sinU/////?LA

整理，得

n?u?sinU?LA?n?u?sinU?LA?n?u?sinU??

/////*令??S?S?2?n?u?sinU??，则

///////*式中S一2通常称为球差系数。

////?n?u?sinU?LA?n?u?sinU?LA

对于由多个光学元件组成的光学系统，各个表面的贡献为：

n1?u1?sinU1?LA1?n1?u1?sinU1?LA1?n1?u1?sinU1??1 n2?u2?sinU2?LA2?n2?u2?sinU2?LA2?n2?u2?sinU2??2

///////*///* . . .

nk?uk?sinUk?LAk?nk?uk?sinUk?LAk?nk?uk?sinUk??k

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///////*由转面公式：

ni?1?ni，ui?1?ui，Ui?1?Ui，LAi?1?LAi

////得到各个表面对球差的贡献之和：

kn?u?sinU?LA?n1?u1?sinU1?LA1?/k/k/k/k?ni?1/i?u?sinU????/i/i*i1k??(S2i?1)i

式中：(?S?2此式称为科尔伯公式。

)i?ni?ui?sinUi??i

///*三 单个折射球面的球差分布系数

下面对S一进行进一步的讨论，如图8－2所示：

?S?2//?n?u?sinU?LA'?n?u?sinU?LA?n?u?sinU(L?l)?n.u.sinU?(L?l)//////////////?n?u?sinU?[(L?r)?(l?r)]?nu?sinU?[(L?r)?(l?r)]?n?u?sinU?(L?r)?n?u?sinU?(l?r)?nu?sinU?(L?r)?nu?sinU?(l?r)/////

由三角形的关系（正弦定理），得：

(L?r)?sinU/////?r?sinI，(L?r)?sinU?r?sinI/////

u(l?r)?ri，u(l?r)?ri，ni?ni，u?u?i?i得 ?S?2?n?u?r?sinI?n?r?i?sinU?n?r?u?sinI?n?r?i?sinU/////////?n?u?r?sinI?n?r?i?sinU?n?u?r?sinI?n?r?i?sinU/?n?r?sinI?(u?u)?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?sinI?(i?i)?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?sinI?n?r?i?sinI?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?sinI?n?r?i?sinI?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?sinI?n?r?i?sinI?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?[(sinU?sinI)?(sinU///////////

?sinI)]/注意到U?I?U?I

S?2?n?r?i?(sinU?n?r?i?(2sin?2n?r?i?sin///?sinI?sinU?sinI)I?U2///?cos/I?U2///?2sinI?U2)?cosI?U2)I?U222?(cos?sinI?U2I?U//?cos/I?U2?sin/

I?U//??4n?r?i?sin?4n?r?i?sinI?U?I?U4I?I2?I?U4)I?U?sinI?U2?sin)

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8n?r?i?sin?I?U2?cos?sin?cos?sin222//I?UI?UI?I2cos?cos?cos222//I?UI?U/I?U/I?I2/?cosI?I2/?n?r?i?(sinI?sinU)?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2?cosI?U2///?cosI?I2/?n?i?(r?sinI?r?sinU)?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2?cosI?U2//?cos/I?I2/?n?i?[(L?r)?sinU?r?sinU]?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2///?cosI?U2?cosI?I2//?n?i?L?sinU?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2?cosI?U2?cosI?I2/

由上述公式可见，若要单折射球面的球差为零。可以有三种情况。

第一种情况: L?0,即物点在折射面上。

第二种情况：sinI?sinI/?0，只有I?I/?0，由

(L?r)?sinU//?r?sinI，(L?r)?sinU?r?sinI

/得 L?L/?r，即:

物点和像点均在折射球面的球心处，或者说入射光线沿球面的法线方向入射。 第三种情况:sinI/?sinU?0,则I/?U. 又由于sinI?/nn//?sinI?nn//?L?rr/?sinU.则L?n?nn//r

此时，还有I?U/,（因U?I?U/?I/） 则 sinI?nn/?sinI?n?n///nnr

?L?rr?sinU

/此时，像点：L?n这是一对无球差的共轭点位置，它们的符号相同，因此都在球心的同侧，或者是实物成虚像，或者是虚物成实像，如图8－3和图8－4所示。

图8－3 齐明点（一） 图8－4 齐明点（二）

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由上式，还可以得到该对无球差的共轭点的物像距关系：n/L/?nL 又因为此时 I?U/,I/?U, 得 sinUsinU/?sinIsinI/?n/n?LL/

sinUsinU/此式表明，这一对共轭点，不论孔径角U多大，比值球差。这一对共轭点称为不晕点，或称为齐明点。

和

LL/始终保持常数，故不产生

四 球差的级数表示式

球差是轴上点的像差。由于轴上点发出的光束对称于光轴，当孔径角U或入射高度y改变符号时，纵向球差LA/不改变符号，故在LA/的级数展开式中，不应该包含有U或y的奇次方项；又由于当U或y为零时，LA/必为零，展开式中也不应有常数项；LA/是轴上点像差，与视场h无关，故也不应包含h项。所以LA/的级数展开式为：

/246LA?a2y?a4y?a6y??? 或 LA/?A2U2?A4U4?A6U6???

由横向球差TLA/?LA/?tanU/可知，其符号随U或y的符号改变而改变，但数值不变，或横向球差的展开式中，只应包含U或y的奇次方项， 即：TLATLA//?k3y?k5y?k7y??? ?k3y?k5y?k7y???

24357357对于一般的光学系统，取y到四次幂的精度就足够了，因此，

LA/?a2y?a4y

只要追迹两条光线（比如，一条是孔径的边缘光线，一条是带光线），就可以求出系数a2和a4。

/24如果使系统的边缘带球差为零，则 LA?a2ym?a4ym?0 2则 a2?a4ym

/224则有：LA??a4ymy?a4y

上式中，y处在ym和0之间，对上式微分，求LA/的极值

d(LA)dy/??2a4ymy?4a4y?0

23得：y??12可见，当边缘带球差为零时，在0.707带处球差有极值。这是光线光路计算过程中，取0.707孔径作为带光线的主要原因。

ym??0.707ym

五 球差曲线

由光线的光路计算，可以精确地计算光学系统在不同物距、不同口径下的球差值。如图

/8－5，画出了LA~U的球差曲线，其中（a）为欠校正球差曲线，（b）为边缘球差完好校正的球差曲线，（c）为过校正球差曲线。 如图8－6，给出了LA/～sinU曲线，其中（a）为欠校正球差曲线，（b）为边缘球差完好校正的球差曲线，（c）为过校正球差曲线。

如图8－7，画出了横向球差。横坐标为孔径角的正切，纵坐标为光线在参考像面上的高度，称为H～tanU曲线。其中：

(a).是边缘球差欠校正的横向球差曲线；

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