设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变
?F??U?T?S?nw?2kBTIn??F?nN!(N?n)!n! （1）
热平衡时，(??F?n)T?0，并应用斯特令公式InN!?NInN?n，从（1）式得
??n[NInN?(N?n)In(N?n)?nInn]?w?2kBT[In(N?n)?Inn]?w?2kBTIn?w()T?w?2kBTN?nn?0
nN?n因为实际上N?n，于是得
?e2kBT
n/N=Bexp（-W/2kBT）
（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是?V?2na
式中a为离子最近邻距离。因为V?2Na为晶体原有的体积，有上式可得
33?VV?2na332Na?nN
4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D?Doe下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：
T/K D/m2·s-1 878 1.6*10-20 1007 4.0*10-18 ?EA/kBT
1176 1.1*10-18 1253 4.0*10-17 1322 1.0*10-16 试确定常数Do和扩散激活能EA. 答：由公式 D?Doe?EA/kBT，可得
当T=878，D=1.6*10-20时，D01=
4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式
nNnN??EukBT?e
?0.38.6?10?5可得：对于铜?e?1000?0.03
对于硅
nN2.88.6?10?5?e?1000?7.247?10?15
4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。
16
答：
4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。 答：如图所示：
4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。
答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。 （1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则
|b|?32a
（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即
|b|?22a
（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a，因此，
|b|?a
4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为b?
第六章
6.1 一维周期场中电子的波函数?（1）? （2）?k12[110]。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。
?x?应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为
?x??sinkk?ax 3?ax
?x??icos? （3）?k?x???f?x??a? （f是某个确定的函数）
i??? 试求电子在这些状态的波矢
解：布洛赫函数为?ika??x?a?e?k?x? k 17
（1）sin?a(x?a)?sin(?aikax??)??sinsin?ax
?sin ?e?a(x?a)?e?ax
ika??1 ，ka??? ，k???a
（2）icos3?a?x?a??icos??ika3??x?3????icosx aa??3? 同理，?e???1 ，ka??? ，k????a
（3）
?f?x??a?a???f?x?(??1)a?
?????????? ??f?x??'a???f?x??a? 此处?'???1
?'??????? eika?1，ka?0或2? ，k?0或2?a
6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成E?k??1?7??coska?cos2ka??，式中a是晶格2ma?88??2常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量
解：能带宽度为 ?E?Emax?Emin， 由极值条件 sinka?dE?k?dk?0， 得
14sin2ka?sinka?12sinkacoska?0
上式的唯一解是sinka?0的解，此式在第一布里渊区内的解为k?0或
当k＝0时，E?k?取极小值Emin，且有Emin?E?0??0
?a
当k??a时，E?k?取极大值Emax ，且有Emax2?????E????a?ma22
由以上的可得能带宽度为?E?Emax?Emin?2?ma22
（2）电子的平均速度为v?1dE?k??dk???1??sinka?sin2ka? ma?4? （3）带顶和带底电子的有效质量分别为
18
? mk???a???12???1????2??m?coska?cos2ka?2?E????2???k??k???a??k??23m
?a m?k?0???2??2??E2???k??1?1???m?coska?cos2k?a?2?????k?0?02 m
6.3 一维周期势场为
?1?mW V?x???2??2?b2??x?na?02?当na?b?x?na?b当(n?1)a?b?x?na?b，
其中a?4b ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 Eg?2Vn ，
其中Vn是周期势场V?x?傅立叶级数的系数，该系数为：
Vn?1a?V?x?e?a/2a/2?i2?anxdx
求得，第一禁带宽度为 Eg1?2V1?21a??a/2V?x?e?i2?axdx
?a/2 ?214bbmW22?b?b22?xe2??i2?anxdx
?214b?3bmW22?b?b2?x2??cos???x?dx ?2b? ? 第二禁带宽度为
8mWb2?
Eg1?2V2?21a?2a/2V?x?e?i4?axdx
?a/2 ?214b?bmW2?b?b22?xe2??i?axdx
?214b?bmW2?b?b2?x2??cos???x?dx ?b? 19
?mWb22?2
?6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出E?k?，m证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似， E?k??E0?J0?J1?k?与波矢的关系，
?eRsika
对一维，最近邻Rs??a
则 E?k??E0?J0?J1e?ika?e?ika?
?E0?J0?J1coska E?k?为余弦函数 （图省）
有效质量 m???22?E?k2??2?2Ja12coska?
m??k?的图也省
在原点附近，ka很小，coska?1 ?m???2?2Ja?
21 在布里渊区边界，k?? ?m??
6.5 某晶体电子的等能面是椭球面
?2?a22，ka???，coska??1
??2Ja??21??2J1a2222??k1k2k3???，坐标轴1，2，3互相垂直。 ?? E??2?m1m2m3??求能态密度。
解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为
k1k2k3???1
2m1E2m2E2m3E?2222?2?2 将上式与椭球公式
xa22?yb22?zc22?1
20
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