朱建国版固体物理学习题答案

《固体物理学》习题参考 第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=

2232a

对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=a

那么，

RfRb=

2a3a=63

1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

正方 a=b

a^b=90°

六方 a=b

a^b=120°

矩形 a≠b

a^b=90°

带心矩形 a=b

a^b=90°

平行四边形 a≠b

a^b≠90°

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）

(213)

答：证明

设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此

a1?n?hda2?n?kd ……… (1) a3?n?id由于a3=–（a1+ a2）

oooa3?n??(a1?a3)?n

1

oo把（1）式的关系代入，即得

id??(hd?kd) i??(h?k)

根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），13(3)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）

→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

?6（2）体

心立方：

3?8（3）面心立方：

2?6（4）六方密堆积：

2?6（5）金刚石：

3?16。

答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：

Z?Ni?12Nf?14Ne?18Nc

边长为a的立方晶胞中堆积比率为

F?Z*43?ra33

假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：

θ=

4/3?r(2r)33=

?6

（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为43r，那么：

θ=

2?(4/3?r)(4/3r)33=

3?8

（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：

θ=

4?(4/3?r)(22r)33=

2?6

（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

2

432?(?r)3θ==32ac22?6

（5）对于金刚石结构

Z=8 a3?8r 那么F?Z*43?ra33?8?43??(38)=

33?16.

1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？

答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′

构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c??(a?b)= 3k?(3i?3j)=27*10(m)

-30

3

原胞的体积=c?(a?b)=

12(3i?3j?3k)?(3i?3j)=13.5*10-30(m3)

1.7 六方晶胞的基失为：a?32ai?a2j，b??32ai?a2j，c?ck

求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：

正格子的体积Ω=a·（b*c）=

32ac

2那么，倒格子的基矢为b1?2?(b?c)??2?3ai?2?aj ，b2?2?(c?a)???2?3ai?2?aj ，

b3?2?(a?b)??2?ck

其第一布里渊区如图所示：

1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为

dhkl?1h2k2l2()?()?()abc

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为

a1h，

a2k，

a3l。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是

3

n?dha1x?dka2y?dla3z

这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

(dha1)?(2dka22)?(2dla32)?1

2故d?[(ha1)?(ka2)?(la3)]2?12

1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下

序号 θ/（°） 1 19.611 2 28.136 3 35.156 4 41.156 5 47.769 已知钽为体心立方结构，试求：

（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距； （3）利用上两项结果计算晶格常数.

答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：

I?Fhkl|?f[1?cos?n(h?k?l)]?fsin?n(h?k?l)

考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式

22222dhklsin???(n?1)

得 d110?同法得

?2sin?1?1.54052sin19.611o?2.295?10?10(m)

d200??2sin?2?1.6334?10?10(m)

d211??2sin?3?1.3377?10?10(m)

d220??2sin?3?1.1609?10?10(m)

d310??2sin?4?1.0403?10?10(m)

应用立方晶系面间距公式

4

dhkl?ah?k?l222h?k?l 222 可得晶格常数a?dhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为

3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897

取其平均值则得

a?3.2725?10?10(m)

1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区. 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a1?ai

a2?用正交关系式bi?aj?2??ij?12ai?32aj

?02?,i?j

i?j求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 b1?b1xi?b1yj b2?b2xi?b2yj

由b1?a1?2? b1?a2?0 b2?a1?0 b2?a2?2? 得到下面四个方程式

ai?(b1xi?b1yj)?2? （1）

(12ai?32aj)?(b1xi?b1yj)?0 （2）

ai?(b2xi?b2yj)?0 （3）

(12ai?32aj)?(b2xi?b2yj)?2? （4）

2?a由（1）式可得：b1x?

由（2）式可得：b1y??2?3a

由（3）式可得：b2x?0

5

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