由（4）式可得：b2y?于是得出倒易点阵基矢
4?3a
b1?2?ai?2?3aj b2?4?3aj
6
第三章 习题答案
3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m
－1
解：一维单原子链的解为Xn?Aei(?t?qna)
据周期边界条件 X1?XN?1，此处N=5,代入上式即得 e?i(5a)q?1
所以 5aq＝2??（?为整数） 由于格波波矢取值范围：??a?q??a。 则 ?52???52
故?可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢：? 由于??4?m4?5asin,
qa2?2?5a,0,
2?5a,
4?5a
，代入?，m及q值
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013 3.2
求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
2N(?2m ????????)2?12 式中?m?4?m是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N
??2??q?dq 解：对一维单原子链，dN??(?)d????q?dq 所以?????2??q?d?dq （1）
由色散关系??
d?dq4?m4?mqa2?sina2qa2 求得
4?am2(1?sin2?cos?qa2)1/2?a2[(4?m)??]21/2 （2）
而??q?? ????? 由于 N? 令
??mL2??Na2?， 则由（1）式可得
2Na2?a4?2N21/222?1/2[??]?(?m??) 2m?4?m??m ，则总的振动模数为
?wm????d??0?wm2N0?(?m??2)2?1/2d?
?sin?，则积分限为0到?/2 ， 故
7
? N??22??0??cos???1cos?d??2N2??0?N
9N3.3
设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为?????解：由书上（3－69）式可得 ?????g???v?1/3?3m2?
32?2?v23 （1）
由（3－71）可得 ?D??m??6?2n?v
3由此可得 2?2v3??m3n ，代入（1）式得
?????9N?3m2?
3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求 （1）
光学波的最高频率和最低频率?max和?min； 声学波的最高频率?max； 相应的声子能量（以eV为单位）；
在300K可以激发频率为?max，?min和?max的声子的数目； 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
?A??（2） （3） （4） （5）
?A 解：（1）??MmM?m?45m
?max??2??2?m2?M?6.70?10rad/sec?1.07?10Hz
1313 ?min???5.99?10rad/sec?0.95?101313Hz
?max?A?3.00?10rad/sec?0.48?101313Hz
??2（2）??max?4.41?10eV
??2 ??min?3.95?10eV
A?2 ??max?1.97?10eV
（3）n?1e?w/kT?1
? ?n?max?0.221， n?min?0.276 ，
?n?max?0.873
A 8
（4）?光速c??v ，???cv?c?2???max?2.8?10?5m?28?m
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于?和10?， 且最近邻的距
离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出q?0和q???/a处的??q?。 解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
β 10β β 10β a2 m x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 原子的运动方程应是??2n?10??x2n?1?x2n????x2n?x2n?1?x?m??2n?1???x2n?2?x2n?1????x2n?1?x2n?x?m?
?2n???10x2n?1?x2n?1?11x2n? x即 m??2n?1???x2n?2?10x2n?11x2n?1? x m? 求格波解， 令 x2n?Aeqa??i??2n???t?2??，x2n?1?Beqa??i??2n?1???t?2??
代入运动方程，可导出线性方程组为：
??11??2?iqa/2?iqa/2??A?10e?eB?0?????mm? ??iqa/211????iqa/22??e?10eA?????B?0??m??m????令
?m??0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得
202?11???22???0(10e4?iqa/2?e?iqa/2)(eiqa/2?10e?iqa/2)?0
?可解出
22 ???011??20cosqa?101 色散关系见下图
?q?0时，cosqa?1，
q?????22?0，???0 20?0，???2?0
?a时，cosqa??1，??? 9
3.6．在一维双原子链中，如Mm??1，求证
?1??2?2?M2?msinqa
m2M(1?cos2qa)
[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ?1?2?Mm?m?M?{1?[1?4mMmM4mM(m?M)2sinqa]21/2}
?M??m，???1 由近似式
1?x??1?nx，(当x??1）n 得?1?2??m?MmM2?m?M?{1?[1?14mM22(m?M)2sinqa]21/2}
?sinqa?22?Msinqa，
??1?2?Msinqa
对?2，由于M??m，M?m?M
22 ?2??(m?M)mM{1?[1?4mM(M?m)4Mm?sin2qa?]1/2}
??m{1?[(M?mM?mM?mM?m14m2M)?2?M4mM?m?22?4Mm?M1/2?m?2cosqa]21/2}
? ??m?m{1?[({1?1?)?22cosqa]}
cosqa}
10
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