?2?m{1?mMcosqa}
2 ??2?2?m1?mMcosqa?22?m(1?m2Mcosqa)
23.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q???2a处，声学支格波中所有轻原子m静止，
而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得
AB?2?cosqa2??m?2 ，当q???2a 时 cosqa?0 且对声学支
?2??????M??
1/2，代入上式即得：
AB?02??2?mM?0 ，故A＝0， 轻原子静止
再由（3－18）第二式得
BA?2?cosqa2??M?2 ，当q???2a 时cosqa?0
?2?? 且对光学支，?????M?
1/2，代入上式即得
BA?02??2?mM?0 故B＝0， 重原子静止
3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅等于原子间距a的10％的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时
2?50kBTm?原子的振动频率????a?M?[解] 当质量为M的原子以频率
1/2，其中M是原子质量。
?及等于原子间距a的10％的振幅振动时，其振动能为：
2222?a?E?M?A?M??? 在熔点Tm时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个
22?10?2112?a?一维原子的平均能量为kBTm，于是有M????kBTm，由此得
2?10?1/212?50kBTm?????a?M?
1??D?3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv?3NkB[1???]
20?T?2 11
证明：由书（3.73）式可知Cv?9NkB(T/T?D)3??DT0exdxx4?ex?1?2
在高温时，T???D，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为
exx4?ex?1?2?x4?x/2?ex/2?e??x432?x1?2?x???x???24??x22?x? ?x??1?12????2125?1???31??D??D 将上式代入Cv的表达式，得Cv?9NkB(T/T?D)???????
60?T???3?T???332????11????3DD ?9NkB(T/T?D)???1????
3?T??20T?????2?1??D?? ?3NkB?1????
20?T?????3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为
??2，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
23 解：由（3－69）式知，状态密度?????g???V?3V?2?2v
则 E0???D0?0????d????D120??3V?2?223vd?
?D ?3?V14?316?22v3?3?D0?d??43316?2?Vv3?40
??Vv?D
1/3 ??D?2V???6??N??316?2v
2 ?E0??Vv3?6?NVv?D?398?N?D
23.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于T
证明：此题可推广到任意维m，由于 dN?g?q?dq?Cdqm?Cq1m?1dq?g???d?
1m?1?d?? ?g????Cq?dq???? ??1 12
而德拜模型中??vq，故g????qm?1??m?1
????2e??kBT ?Cg???d?v??kB???kBT????e??kBT?1?2 令
??kT?x，则上式变为
x C?1v??TmTexm?1??Tmdx
ex?1?2dx?xpexxm?10?ex?1?2 在低温时 xD???DkT??
? 则积分
?exxm?1?dx 为一个于T无关的常数
0ex?1?2 故 Cv?Tm 对三维 m＝3 Cv?T3
对本题研究的二维 m＝2 Cv?T2 对一维 m＝1 Cv?T
3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U?r???e2br?ra， b为待定常数，r0?3?10?10m，求线膨胀系数。
解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 ??3gkB4?f2r
0 其中：1???d2U?3f??2????1?dU??dr2?，g? r3!???dr30??r0
22 由平衡条件??dU??dr??e9be8?r0r2?10?0 ?b?r0 0r092 ?f??2e4e22r3?90b， g??1?6?6e2990b202r11???r4??52e12???4 0r300r0?3r0 由于 r.806?10?100?3?10?8m ，e?4CGSE
k?16B?1.381?10erg/K
13
平衡间距
???13r0kB16e2?1.46?10?5/K
3.13 已知三维晶体在q?0附近一支光学波的色散关系为
222
??q???0??Aqx?Bqy?Cqz? ， 试求格波的频谱密度????
222 解：??0???Aqx?Bqy?Cqz
22qyqxqz???1 则
?0???0???0??2ABC43 这是q空间的一个椭球面，其体积为
?abc，而
a??0??A1/2，b??0??B1/2，c??0??C1/2
V?L? q空间内的状态密度??q??? ，故椭球内的总状态数N为 ??32?(2?)??3 N?V?2??34??1????3?ABC?dNV1/2?0??1/23/2
?1? 故 ???????2?d?4??ABC?
?0??1/2?V4?2?0??ABC1/2
14
第四章
4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？
答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.
4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？ 答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式
nN可得
?EukBT?e
nN?0.67?1.6?101.38?10?23?19?e?300=5.682*10-12
4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。 答：由公式
?EakBTv?voe可得
?
0.1eV1.38?10?23v?voe?300=2*1015*0.02=4*1013
4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。 答：
（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为
W1?N!(N?n)!n!
同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是
W2?N!(N?n)!n!
于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数
W?W1W2?[N!(N?n)!n!]
2由此而引起晶体熵的增量为
?S?kBInW?2kBIn
N!(N?n)!n!
15
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