理论力学答案(谢传峰版)(6)

同理可知B点不动，?rE?BE，且：

?rE??rD?a???

由虚位移原理??W(Fi)?0有：

代入各点的虚位移整理可得：

?rC?0

00F1??rDcos600?P3??rEcos150?P3??rKcos120?0

(F1?23P3)?a???0

3F1P3?6（受拉）对任意???0可得：。

4-12杆长2b，重量不计，其一端作用铅垂常力F，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k，当y?0时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置y，讨论此平衡位置的稳定性。 解：

F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选?为广义坐标，如图所示。取??0为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：

V?V弹?VF

1?k(b?bcos?)2?F(2b?2bcos?)21?kb2(1?cos?)2?2Fb(1?cos?)2

dV?0d?由平衡条件可得：

θ

b[kb(1?cos?)?2F]sin??0

有：sin??0和kb(1?cos?)?2F?0 即：??0和cos??1?也就是：y?0和y?2F

kbF(kb?F)两个平衡位置。

为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：

d2V?(kb?2F)bcos??kb2cos2?2当??0时，

2kd?

d2V??2Fb?0，即y?0时是不稳定平衡。 2d?2F时，

当cos??1?kb

d2V

由上式可知：

d?2?4F(kb?F)k

2dV2F21． 当cos??1?且kb?F时，即y?F(kb?F)是稳定平衡位置； ?02kbkd?2dV2F22． 当cos??1?且kb?F时，即y?F(kb?F)是不稳定平衡位置。 ?02kkbd?

4-15半径为r的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。

解：

取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个

半圆心连线与y轴夹角?为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中h?动，有：

4r。由于半圆柱作纯滚3??r??R （1）

取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：

V?mgzC?mg[(R?r)cos??代入（1）式有：

4rcos(???)]3?

V?mg[(R?r)cos??

由平衡条件

4rR?rcos(?)]3?r

dV4R?r?mg(R?r)[sin(?)?sin?]d?3?r

dV?0可得??0为平衡位置。势能V的二阶导数： d?

d2Vd?2由上式可得当R?(

努力学习吧！

?mg(R?r)[4(R?r)R?rcos(?)?cos?]3?rr

3??1)r，??0是稳定的。 4动力学

1－3 解：

运动方程：y?ltan?，其中??kt。

将运动方程对时间求导并将??300代入得

l??lk4lk??v?y??3 cos2?cos2?2lk2sin?83lk2???a??y?9 cos3?

1－6

证明：质点做曲线运动，

所以质点的加速度为：a?at?an,

设质点的速度为v，由图可知:

y vy ? v ? avacos???n，所以: a?n

vavy将vy?c，an?vy a x

v2?

o

an v3代入上式可得 a?

c? 证毕 1－7

2a?vv证明：因为??，an?asin?? van3v所以：?? a?v

z at ? a 证毕

1－10

an o y

x

解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度 为s,则有关系式：

s?L?v0t，并且 s2?l2?x2

将上面两式对时间求导得：

??2xx? ???v0，2sss

sv0 （a） x(a)式可写成：xx???v0s，将该式对时间求导得：

由此解得：x???

2 (b) ??x?x?2??s?v0?v0xvo

?

F y

vo

mg FN

222 ?2v0?xv0l将(a)式代入(b)式可得：ax????x??3（负号说明滑块A的加速度向上） xx

取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：

ma?F?FN?mg

将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：

其中：

??mg?Fcos?m?x???Fsin??FN m?y

cos??xx2?l2,sin??lx2?l2

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：

22v0llF?m(g?3)1?()2x x22v0l????3,???0xyx

1－11

?

vB O A B ? O R x A ? vA x 解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vB??R，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：

vB?vAcos? （a） 因为

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：

cos??x2?R2x （b）

vA??R

xx2?R2 （c）

?，由于vA??x（c）式可写成：?x?x2?R2??Rx，将该式两边平方可得：

将上式两边对时间求导可得：

?后，可求得： 将上式消去2x?2(x2?R2)??2R2x2 x???(x2?R2)?2xx?3?2?2R2xx? 2xx(x2?R2)2 (d)

?2R4x由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 aA?2 22(x?R)

取套筒A为研究对象，受力如图所示，

根据质点矢量形式的运动微分方程有：

????x?2R4xy B R ma?F?FN?mg

将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：

? O ? F FN A vA mg x

其中：

???Fcos?m?x??Fsin??FN?mg m?yRsin??,cos??x

?2R4xx2?R2????2??0x,?y22(x?R)x,

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库理论力学答案(谢传峰版)(6)在线全文阅读。