大学物理第二版习题答案(2)

试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。

解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图1.6所示，则两个物体的速度分别为 vA??vOAcos??i??vOAsin??gt?j

?????? vB??vOBcos??i??vOBsin??gt?j

所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为

vB?vA??vOBcos??vOAcos??i??vOBsin??vOAsin??j

它是与时间无关的常矢量。

1-10 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为?tA，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为

?????tB，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小。

解 设抛出物体的初速度为v0，抛射角为?，建立如图1.7所示的坐标系，则

12?h?vsin?t?gtA??0A??A2 ?

1?h??vsin??t?gt2B0BB??2所以

2gA?22v0sin?t?t??0A?Agg? ?

2vsin?2g?t2?0tB?B?0B?gg?于是有

???tA?? ????tB??此二式平方相减可得 g??tA1?tA2??tB1?tB2?2?4tA1tA224v0sin2?8hA??g2g2?4tB1tB2?4vsin?8hB?g2g202

8?hB?hA?8h ?2222?tA??tB?tA??tB注意此方法也是实验测得重力加速度的一种方法。

1-11 以初速度v0将一物体斜上抛，抛射角为?，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为（ ）

2v0sin?v0cos?gA. B. 2 C. D.不能确定

gv0g 6

解 本题正确答案为 C

因为初速为v0将一物体斜向上抛，抛射角为?，不计空气阻力时，物体在轨道的最高点处的速率为

?v2，所以物体在轨道最高点处的曲率半径为v?v0cos?，而此时物体仅有法向加速度an，且an?g?R2cos2?v2v0 R??gg1-12 一质点从静止出发沿半径为R?1m的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是??12t2?6t(SI)，试求该质点的角速度?和切线加速度a?。 解 因为

??12t2?6t

2所以 d??(12t?6t)dt 于是有

??0d???(12t2?6t)dt

032t故质点的角速度为

??4t?3t 切线方向加速度为

a??R??12t3?6t

2t?0.5s1-13 一质点做圆周运动方程为??2t?4t(?以rad计，t以s计）。在t?0时开始逆时针旋转，问：（1）

时，质点以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置?多大？

解 （1）因质点做圆周运动角速度方向改变瞬时， ??d?t?0t,?0.2s 即 2?8 5dt所以t?0.5s时，质点将以顺时针方向转动。 （2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置为

?(0.25)?2?0.25?4?(0.25)2?0.25(rad)

?21-14 质点从静止出发沿半径为R?3m的圆周做匀变速运动，切向加速度a??3m?s，问：（1）经过多长时

间后质点的总加速度恰好与半径45角？（2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少？ 解 因为 a???dv?3 dt 所以 dv?3dt 即

?v0dv??3dt

0t 故质点做圆周运动的瞬间时速度为瞬时速率v?3t

7

质点的法向加速度的大小为

v2(3t)2??3t2 an?R3其方向恒指向圆心，于是总加速度为

2 a?an?a??3tn?3?

???????其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，?为切向单位矢量。

?（1）设总加速度a与半径的夹角?，如图1.8所示，则 asin??a?，acos??an

?当?=45?时有an?a?，即3t2?3,t?1（负根舍去），所以t?1s时，a与半径成45角。

???s1ds?v?3t，所以?ds???3t?dt （2）因为

00dt故在这段时间内质点所经过的路程为s?1.5m，角位移为???s1.5??0.5(rad)。 R3?11-15 汽车在半径为R?400m的圆弧弯道上减速行驶，设某一时刻，汽车的速度为v?10m?s，切向加速度的大小为a??0.2m?s?2。汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。 解 已知条件如图1.9所示。汽车的法向加速度为

v2102??0.25(m?s?2) an?R400汽车的总加速度为 a?2an?a?2??0.25???0.2???222?0.32(m?s?2)

??所以a?an?a??0.25n???0.2??(m?s)，故加速度a和v的夹角为 ??180??arctan?

?????an?a???0.25??180??arctan????128?40?

0.2???习题精解

2-1 如图2.6所示，将质量分别为m和M的A,B两物块叠放在一起，置A,B间的静摩于光滑水平面上。

?擦系数为?s,滑动摩擦系数为?k，现用一水平力F作用于A物块上，要使A,B不发生相对滑动而一同前进，

则应有（ ）

????m?Mm?MF??mgF??mg A. F??smg B. C. D. F??(m?M)gsksMM解 本题正确答案为B

8

因A,B不发生相对滑动，设它们一同前进的加速度为a,水平方向受力如图2.6所示，则由牛顿第二运动定律的

对物体A有：F??smg?ma 对物体B有：?smg?Ma

m?Mmg Mm?Mmg,则A,B就不发生相对滑动。 可见只要F??sM????2-2 质量为0.25kg的质点，受力为F?ti(SI)的作用，式中t为时间。t?0时，该质点以v0?2jm?s?1的速

解之可得：F??s度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____.

????????v?t?dvFti?2???4ti,所以dv??4ti?dt，于是有?dv??4tidt，v?2ti?2j；又因为解 因为

v00dtm0.25???????2???dr??v，所以dr??2t2i?2j?dt，于是有?dr???2t2i?2j?dt，r?t3i?2tj?C，而t=0时质点通过dt3??23?了原点，所以C?0，故该质点在任意时刻的位置矢量为r?ti?2tj。

3????22-3 一质量为5kg的物体（视为质点）在平面上运动，其运动方程为r?6i?3tj(SI)，则物体所受合外力f??的大小为_____；其方向为______.

????d2rf?m?5??6j??30j 解 因为，所以物体所受合力f的大小为30N，其方向沿y轴负向。 ??dt22-4 A,B,C3个物体，质量分别为mA?mB?0.1kg,mC?0.8kg，当按图2.7(a)放置时，物体系正好匀速运动。（1）求物体C与水平面间的摩擦系数；（2）如果将物体A移动到物体B上面，如图2.7(b)所示，求系统的加速度及绳中的张力（滑轮与绳的质量忽略不计）。

解 （1）由于系统按图2.7（a）放置时，物体系正好匀速运动，所以有mBg???mA?mC?g，物体C与水平桌面间的摩擦系数为

??mB0.11???0.11

mA?mC0.1?0.89（2）如果将物体A移到物体B上面，分析受力如图2.7(b)所示，则 对物体A、B有：?mA?mB?g?T??mA?mB?a 对物体C有： T??mCg?mCa 解之可得系统的加速度 a?mA?mB??mCg?1.1?m?s?2?

mA?mB?mC9

绳子的张力 T?m )g?1.7(NC?a???2-5 已知条件如图2.8所示，求物体系加速度的大小和A、B两绳中的张力（绳与滑轮的质量及所有的摩擦均忽略不计）。

解 受力分析如图2.8所示。由于绳子不可伸长，所以设物体系的加速度为a，则由牛顿第二运动定律可得 对于水平运动的物体有 TB?2ma 对于竖直运动的物体有 TA?TB?mg?ma 对于斜面上运动的物体有

2mgsin45??TA?2ma 联立以上三个方程可得物体系的加速度为 a?2mgsin45??mg2?1 ?5m5A、 B两绳子的张力分别为

232?2mg,TB? TA?5?2?15?mg

?2-6 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小球，使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动，如图2.9所示。用牛顿运动定律求小球沿逆时针转过?角使的角速度和绳中的张力。 解 小球在任意位置是的受力分析如图2.9所示，则由牛顿第二运动定律可得

?v2?对法向有： T?mgcos??m??

?l?对切向有： ?mgsin??m??dv?? ?dt?对切向方程两边同乘以d?，得 ?mgsin?d??m?即

?mgsin?d??m?亦即

gsin?d???l??d? 于是有

?dv??d? ?dt??dv???d?l?? dt?? 10

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