全国2016届高考数学仿真信息卷（文科）（一）（解析版）(4)

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】由图象得到函数周期，利用周期公式求得ω，由五点作图的第一点求得φ的值，从而可求函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可求值得解． 【解答】解：∵由图可知，T=∴ω=

=

=2；

）+φ=0，得φ=

．

﹣（﹣

）=π．

∵由五点作图第一点知，2×（﹣∴y=2sin（2x+∴f（

），

+

）=2sin

）=2sin（2×=1．

故答案为：1．

16．已知f（x）=ln（1+|x|）﹣

，使f（x）＞f（2x﹣1）成立的范围是 ＜x＜1 ．

【考点】函数单调性的性质．

【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣

为偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，

∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）， 即|x|＞|2x﹣1|，

平方得3x2﹣4x+1＞0， 即＜x＜1． 故答案为：＜x＜1．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且S△ABC=bccosA． （1）求tan2A的值；

（2）若b2=a2+c2﹣ac，b=，求c． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由题意和三角形的面积公式求出tanA的值，由二倍角的正切公式求出tan2A的值；

（2）由题意和余弦定理求出cosB，由内角的范围和特殊角的余弦值求出B，由同角三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出边a，代入b2=a2+c2﹣ac求出c的值．

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【解答】解：（1）由题意知，S△ABC=bccosA， 则bcsinA=bccosA，则sinA=2cosA，即tanA=2，

所以tan2A=

（2）因为b2=a2+c2﹣由余弦定理得，cosB=

==﹣；

ac，

ac，所以a2+c2﹣b2=

=

，

由0＜B＜π得，B=，

由（1）知tanA=2，则，

解得sinA=±，

，

因为sinA＞0，所以sinA=

由正弦定理得，，a===2，

代入b2=a2+c2﹣ac得，5=8+c2﹣4c，则c2﹣4c+3=0， 解得c=3或1．

18．2015年上海国际机动车尾气净化及污染控制研讨会在上海召开，大会一致决定，加强对汽车碳排放量的严控，汽车是碳排放量比较大的行业之一，我市规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）． 80 110 120 140 150 甲 100 120 x 100 160 乙 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为

=120g/km．

（Ⅰ）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；

（Ⅱ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？ 【考点】概率的应用． 【分析】（1）由平均数乙=120g/km计算x的值，求出甲品牌二氧化碳排放量的平均数，再由求出甲乙的方差，比较平均数和方差得答案．

（2）用枚举法列出从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆的所有不同的二氧化碳排放量结果，查出至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的种数，然后由古典概型概率计算公式求概率；

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【解答】解：（1）由题可知，解得 x=120． 又∴∴∵

==120，

=120，∴ =120，

= [（80﹣120）2+2+2+2+2]=600， = [2+2+2+2+2]=480，

=120，

＞

，

∴乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．

（2）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：

（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），，， ，，，．

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：

（80，140），（80，150），，，，，

∴P（A）=

=0.7．

答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7；

19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点． （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面 BDD1； （Ⅱ）求证：PB1⊥平面PAC； （Ⅲ）求VC﹣PAB．

【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（I）由长方体的结构特征可知AC⊥DD1，由底面正方形可得AC⊥BD，故AC⊥平面BDD1，从而得出平面PAC⊥平面BDD1．

PC，PA，B1C，B1A的长，（II）使用勾股定理求出PB1，利用勾股定理的逆定理得出PB1⊥PA，

PB1⊥PC，故PB1⊥平面PAC；

（III）以△ABC为棱锥的底面，则PD为棱锥的高，代入体积公式计算即可． 【解答】证明：（I）∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥DD1，

∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，

又BD?平面BDD1，DD1?平面BDD1，BD∩DD1=D，

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∴AC⊥平面BDD1， ∵AC?平面PAC，

∴平面PAC⊥平面BDD1． （II）连结B1C，B1A，B1D1，

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2， ∴B1D1=，PD1=PD=1， ∴PB1=B1C=

=

=

，PC=

==

，PA=．

=

，

，B1A=

∴PC2+PB12=B1C2，PA2+PB12=B1A2， ∴PB1⊥PC，PB1⊥PA，

又PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P， ∴PB1⊥平面PAC． （III）VC﹣PAB=VP﹣ABC=

=

=．

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线

的焦点

重合．

（1）求椭圆C的方程．

（2）已知经过定点M（2，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设椭圆的标准方程为

（a＞b＞0），焦距为2c．由抛物线

方程得焦点，可得c．又短轴长为4，可得2b=4，解得b．再利用a2=b2+c2即可得到a．

（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB．设直线l的方程为my=x﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆的方程联立化为（9+5m2）y2+20my﹣25=0，得到根与系数的关系，由于PM平分∠APB，利用角平分线的性质可得化简求出t的值即可．

【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为

，经过

（a＞b＞0），焦距为2c．

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由抛物线方程得焦点，∴c=．

又短轴长为4，∴2b=4，解得b=2． ∴a2=b2+c2=9． ∴椭圆C的方程为

．

（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB． 设直线l的方程为my=x﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

，化为（9+4m2）y2+16my﹣20=0，

则，．（*）

∵PM平分∠APB，∴，

∴，化为，

把x1=my1+2，x2=my2+2代入上式得（2﹣t）（y1﹣y2）[2my1y2+（2﹣t）（y1+y2）]=0， ∵2﹣t≠0，y1﹣y2≠0，∴2my1y2+（2﹣t）（y1+y2）=0． 把（*）代入上式得化为m（9﹣2t）=0，

由于对于任意实数上式都成立，∴t=． 因此存在点P

满足PM始终平分∠APB．

，

21．已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx． （Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）的最小值是3．如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（I）由已知中函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，结合当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx．我们可以根据函数奇偶性的性质，得到x∈[﹣e，0）时，函数的解析式，进而得到f（x）的解析式；

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