Dn?aDn?1?bn?aaDn?2?bn?1?bn???an?1D1?an?2b2???abn?1?bn?an?an?1b???abn?1?bn.
??4.6 Vandermonde行列式
4.6.1 概念
1a1形如a12?a1n?11a22a2?n?1a21a32a3?????1an2an这样的行列式，成为n级的范德蒙德行?n?1n?1a3?an列式．
4.6.2 计算方法
通过数学归纳法证明，可得
1a1a12?a1n?11a22a2?n?1a21a32a3?????1an2?an?1?j?i?1??ai?aj?.
n?1n?1a3?an4.6.3 例题解析
1x1x12例18 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德
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行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得
1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn.
?n?2x2n?1x2nx2?n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得
f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn， 其中，xn?1的系数为
An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为
1?j?i?n??xi?xj?.
??x1?x2?xn?故有
1?j?i?n??xi?xj?,
Dn??x1?x2???xn?
1?j?i?n??xi?xj?.
5、行列式的计算方法的综合运用
有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合
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多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．
5.1 降阶法和递推法
210?00121?00012?00??????000?21000?12例19 计算行列式Dn?.
分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到n?1阶的形式．
解：将行列式按第一行展开，得Dn?2Dn?1?Dn?2. 即
Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?2.
∴Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?2???D2?D1?3?2?1. ∴Dn?1?Dn?1???1?1????1?Dn??n?1??
??n?1??2?n?1.
5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式
例20 计算行列式
11?sin?1D?sin?1?sin2?1sin2?1?sin3?111?sin?2sin?2?sin?22sin2?2?sin3?211?sin?3sin?3?sin?23sin2?3?sin3?311?sin?4sin?4?sin?24sin2?4?sin3?4解：从第一行开始，依次用上一行的??1?倍加到下一行，进行逐行相
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加，得
1D?sin?1sin2?1sin3?11sin?2sin2?2sin3?21sin?3sin2?3sin3?31sin?4.
sin2?4sin3?4再由范德蒙德行列式，得
1D?sin?1sin2?1sin3?11sin?2sin2?2sin3?21sin?3sin2?3sin3?31sin?4sin2?4sin3?4?1?j?i?4??sin?i?sin?j?.
5.3 构造法和套用范德蒙德行列式
1x1x12例21 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得
1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n
1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn24
?n?2x2n?1x2nx2?.
n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得
f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，
其中，xn?1的系数为
An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为
1?j?i?n??xi?xj?.
??x1?x2?xn?故有
1?j?i?n??xi?xj?.
Dn??x1?x2???xn?
1?j?i?n??xi?xj?.
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