行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

00例1 计算行列式

040030020010. 00?24项，但由解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

??6，所以此项取正号．故 a14a23a32a41，而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

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a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann，?00???ann?000?a11a22?ann. ?a2?a2???anan?0?a33???a1?a1an3?ann1a1?b1?1例2 计算行列式Dn?1?.

a2?an?bn解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的??1?倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．

解：将该行列式第一行的??1?倍分别加到第2,3?（n?1）行上去，可得

1a1Dn?1?0b1?0?0a2?an0?00?0??b1b2?bn.

?bn2.2.2 连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

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x1?mx2?xnxn?例3 计算行列式Dn?x1?x1x2?m???x2.

?xn?m?x解： Dn?ni?mx2?xnxn?

?xi?1ni?1ni?mx2?m???m1?i??xi?1x2x2?xn?m?xnxn?n?1x2?m????xi?m?????i?1??1x2?xn?m1x2?n?0?m???xi?m???i?1??002.2.3 滚动消去法

?xnn?0?n?1????m???xi?m?.

???i?1???m当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．

12例4 计算行列式Dn?3212321?n?1n?n?2n?1?n?3n?2?n?2?.

?2?1????nn?1n?2?解：从最后一行开始每行减去上一行，有

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123?n?1?1?1?100?1n123?n?100?1n?2?2 ??11?1?1?Dn?11?1??1?1?1???1200??1?220???100?0????111?123?n?1n?1100??2n?2110?????111????1?n?1?n?1?2n?2.

2.2.4 逐行相加减

对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．

?a100?01a1?a20?010a2?01????000?1000?an1例5 计算行列式D??a3?.

??an解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：

?a10D?0?010?a20?022n?200?03????000?n000?0n?1?a3?

??an???1???1?n?n?1?a1a2?an???1?n?n?1?a1a2?an.

2.3 降阶法

将高阶行列式化为低阶行列式再求解．

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2.3.1 按某一行（或列）展开

x00例6 解行列式Dn??0an解：按最后一行展开，得

?1x0?0an?10?1x?0?????000?x000. ??1a1an?2?a2Dn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an.

2.3.2 按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k?1?k?n-1?个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即

其中Ai是子式Mi对应的代数余子式． D?M1A1?M2A2???MnAn，即

AnnCnnAnn00Bnn?Ann?Bnn，

Cnn?Ann?Bnn. Bnn?b例7 解行列式Dn?b?baaa?????a???????????.

?????解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加

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