当n?2时，61?4A?5B. 解得
A??16,B?25，
所以
Dn?5n?1?4n?1.
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1 拆行（列）法
3.1.1 概念及计算方法
拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析
1?a1?1例11 计算行列式Dn?a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an.
0?001?a3???00??1?an?1解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得
11
1?a1a20?0?1?01?a2a3?0D0?0?11?a3?0n??????0?000?1?an?10?000??11a20?00?11?a2a3?00?0?11?a3?00??????000?1?an?1an000??11?an?a1a20?00
01?a2a3?00?0?11?a3?00??????.000?1?an?1an000??11?an上面第一个行列式的值为1，所以
1?a2a3?00?1a3?00Dn?1?a1?????
00?1?an?1an00??11?an?1?a1Dn?1.
这个式子在对于任何n?n?2?都成立，因此有
Dn?1?a1Dn?1
12
000?
an?an1?1?a11?a2Dn?2???1?a1?a1a2?????1?a1a2?an
n?1???1????1??aj.
i?1j?1nii3.2 构造法
3.2.1 概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析
1x1x12例12 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得
1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn.
?n?2x2n?1x2nx2?n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得
13
f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，
其中，xn?1的系数为
An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为
1?j?i?n??xi?xj?.
??x1?x2?xn?故有
1?j?i?n??xi?xj?.
Dn??x1?x2???xn?1?j?i?n??xi?xj?.
3.3 特征值法
3.3.1 概念及计算方法
设?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式
A??1?2??n.
故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式．
3.3.2 例题解析
例13 若?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为A??1?2??n，则
A可逆?A?0??1?2??n?0??i?0?i?1,2?n?.
14
即
A可逆当且仅当它的特征值全不为零．
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法
4.1 三角形行列式
4.1.1 概念
a11a12a22a13?a1na11a22a32?an2a33??an3?ann形如
a23?a2na21a33?a3n，a31???annan1这样的行列式，
形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，
a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an2a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???000?a11a22?ann. ??ann0?a33???an3?ann4.2 “爪”字型行列式
4.2.1 概念
15
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