行列式的计算技巧与方法总结(2)

到第二列，得

?bDn?0?0aaa?a?????0?????0??0??0

???0????aa?a?b?0?0??n?1?a???n?2??0?0?????0??0??0???0????0?0???0????n?2?b?n?1?a???n?2???????0???????n?2????n?1?ab??????.

2.4 升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．

其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．

6

011?11101?11110?11??????111?01111?10例8 解行列式D=.

解：使行列式D变成n?1阶行列式，即

111?11001?11D?010?11??????011?01011?10.

再将第一行的??1?倍加到其他各行，得：

1?1??1?110?0010?00????100?0100?0?1?1?1D=

?1?.

??1从第二列开始，每列乘以??1?加到第一列，得：

?（n?1)0D?0?001?10?0010?00????100?0100?0?1?1?

??1???1?n?1?n?1?.

2.5数学归纳法

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有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?例9 计算行列式Dn?2cos??.

?2cos?解:用数学归纳法证明. 当n?1时，D1?cos?. 当n?2 时，D2?cos?11?2cos2??1?cos2?.

2cos?猜想，Dn?cosn?.

由上可知，当n?1，n?2时，结论成立．

假设当n?k时，结论成立．即：Dk?cosk?.现证当n?k?1时，结论也成立．

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?当n?k?1时，Dk?1?2cos??.

?2cos?将Dk?1按最后一行展开，得

8

cos?Dk?1???1?k?1?k?112cos?1?012cos?1?00?000?2cos?10?01?2cos???00

???2cos??0cos????1?k?1?k10?01?02cos??0 ?0???1?2cos?Dk?Dk?1.

因为

Dk?cosk?，

Dk?1?cos?k?1???cos?k?????cosk?cos??sink?sin?， 所以

Dk?1?2cos?Dk?Dk?1

?2cos?cosk??cosk?cos??sink?sin? ?cosk?cos??sink?sin?

?cos?k?1??.

这就证明了当n?k?1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：Dn?cosn?.

2.6 递推法

技巧分析：若n阶行列式D满足关系式

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aDn?bDn?1?cDn?2?0.

则作特征方程

ax2?bx?c?0.

n?1① 若??0，则特征方程有两个不等根，则Dn?Ax1n?1?Bx2．

② 若??0，则特征方程有重根x1?x2，则Dn??A?nB?x1n?1． 在①②中， A，B均为待定系数，可令n?1,n?2求出．

9500?0004950?0000495?000????????0000?4950000?049例10 计算行列式Dn?.

解：按第一列展开，得

Dn?9Dn?1?20Dn?2.

即

Dn?9Dn?1?20Dn?2?0．

作特征方程

x2?9x?20?0.

解得

x1?4,x2?5.

则

Dn?A?4n?1?B?5n?1.

当n?1时，9?A?B；

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