湖北省武汉市黄陂一中2015-2016学年高二（上）12月月考数学（理(5)

22．已知动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）+y=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）是否存在常数λ，使

=λ

2

22

总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．

【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，由此能求出曲线C的方程．

（Ⅱ）设直线OQ：x=my，直线MN：x=my﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），

联立方程组数λ．

，得：（7m+16）y﹣42my﹣49=0，由此能求出存在符合条件的常

22

（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S△MNQ=S△MNO=|OA||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由此利用均值不等式能求出最大值．

2

2

【解答】解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）+y=64相切，

∴点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径， ∴|PA|+|PB|=8， ∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，

∴曲线C的方程为：．

（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，

∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my﹣3， 设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3）， 则

，

，

联立方程组，消去x，得：（7m+16）y﹣42my﹣49=0，

22

∴y1+y2=

，，

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x1x2=（my1﹣3）（my2﹣3）=my1y2﹣3m（y1+y2）+9， x1+x2=m（y1+y2）﹣6， ∴

=（x1+3）（x2+3）+y1y

2

=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2

2

=（m+1）y1y2

=﹣，

联立方程组，消去x，得

，y3为其一根，

∴∵解得

=λ

=（m+1），∴﹣49=112λ， ，

2

=

．

2

，

∴存在符合条件的常数λ，

2

（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m+16）y﹣42my﹣49=0，

y1+y2=∵MN∥OQ，

，

，

∴S=S△MNQ=S△MNO=|OA||y1﹣y2|=|y1﹣y2| =

=

=

=当且仅当

≤2．

时取等号，

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∴所求最大值为2．

【点评】本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线是副产品存在，考查最大值的求法，是中档题．

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