湖北省武汉市黄陂一中2015-2016学年高二（上）12月月考数学（理(3)

∵|AB|+

2

=，

∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a， ∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|， ∴|AF1|=3． ∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a， ∴a=1． 在Rt△BF1F2中，

∴4c=52， ∴c=

．

2

=

+

=6+4=52，又

22

=4c，

2

∴双曲线的离心率e==． 故选A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

10．如图

，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任

取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．

3

【解答】解：从9个数中任取3个数共有C9=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；

∴所求的概率为=

故选D．

【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．

11．已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，定义线段PQ长度的最小值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．若曲线C1表示直线x=﹣，曲线C2表示射线y=0（x≥），则点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}所表示的图形是（ ）

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A． B．

C．

D．

【分析】当﹣1≤y≤1时，点集为{P|d（P，C1）=|PC|}，当y≤﹣1或y≥1时，点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}，确定表示的图形，即可得出结论． 【解答】解：设P（x，y），点

，

2

当﹣1≤y≤1时，点集为{P|d（P，C1）=|PC|}，表示的图形是抛物线y=2x上的一段，其中

；

与

当y≤﹣1或y≥1时，点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}，表示的图形分别是直线

x轴正方向夹角的平分线上的一条射线，即和．对比选项知A正确． 故选：A． 【点评】本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题． 12．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是（ ）

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①x=4y； ②

2

； ③x﹣y=1； ④（x﹣2）+（y﹣2）=4； ⑤3x+4y=4．

2222

A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①③④

22

【分析】设点P（x，y），曲线上有钝点，?存在点（x，y）使得x+y＜1．解出即可判断出结论． 【解答】解：设点P（x，y），曲线上有钝点，?存在点（x，y）使得x+y＜1．

2

2

①令P

2

2

，则x+

2

＜1，化为x+16x﹣16＜0，解得0≤x＜4

422

，满足

x+y＜1，因此是“有钝点的曲线”．

②由，可得：c=1，因此A（﹣1，0），B（1，0）为椭圆的两个焦点，椭圆上的

，可知：

点对焦点展开的角的最大值为椭圆短轴的两个端点，由b=

∠APB为锐角，因此此椭圆上不存在一点P，使∠APB为钝角．

22222③x﹣y=1，设P（secθ，tanθ），则secθ+tanθ=2tanθ+1≥1，因此双曲线上不存在一点P，使∠APB为钝角．

22222

④由（x﹣2）+（y﹣2）=4，设x=2+2cosθ，y=2+2sinθ，则x+y=（2+2cosθ）+（2+2sinθ）

2

=12+8∈

2

2

，

满足存在点（x，y）使得x+y＜1，因此此圆上存在一点P，使∠APB为钝角．适合条件． ⑤取3x+4y=4上点P

，则x+

2

=+≥，因此

次直线上存在一点P，使∠APB为钝角．适合条件． 综上可得：“有钝点的曲线”是①④⑤． 故选：C．

【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、数量积运算性质，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知的展开式中x的系数为，则常数a的值为

3

．

3

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x的系数，列出方程解得a．

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【解答】解：的展开式的通项为

=令

解得r=8，

3

∴展开式中x的系数为9a， ∵展开式中x的系数为， ∴9a=解得a=，

3

故答案为：． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题；通过给二项式的x赋值求展开式的系数和． 14．过点的双曲线C的渐近线方程为，P为双曲线C右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3），则|PA|+|PF|的最小值为 8 ．

【分析】先求出双曲线的方程，根据A点在双曲线的两支之间，由双曲线的定义|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．

【解答】解：由题意，设双曲线方程为∵过点

的双曲线C的渐近线方程为

（a＞0，b＞0），则

，

∴∴a=2，b=

，

，

，0），

∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（

∴由双曲线的定义|PF|﹣|PF′|=2a=4 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=4 两式相加得|PF|+|PA|≥4+4=8，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立． ∴|PA|+|PF|的最小值为8 故答案为：8．

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【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用． 15．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1468），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为 1359 ．

【分析】根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取4个，每种取法对应一个“渐升数”，再确定1在首位、2在百位；3在百位，4在十位，5在十位“渐升数”的个数，即可得出结论．

【解答】解：根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取4个，每种取法对应一个“渐升数”． 对于这些“渐升数”，1在首位、2在百位的有

=21个；

1在首位、3在百位，4在十位的有5个，1在首位、3在百位，5在十位的有4个

故第30个“渐升数”为1359， 故答案为：1359

【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐升数”的含义，其次要注意0不能在首位，即“渐升数”中不能有0，属于中档题．

16．已知曲线C：，给出以下结论：

①垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点

②直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点 ③曲线C关于直线y=﹣x对称

④若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有

写出正确结论的序号 ①②④ ．

【分析】去掉绝对值，化简曲线的方程，结合图形分析每个选择支的正确性，找出正确的选项．

【解答】解：当x＞0，y＞0 时，方程是一象限内的部分，

﹣

=1，图象是焦点在x轴上的双曲线位于第

当 x＞0，y＜0 时，方程是+=1，图象是椭圆在第四象限内的部分，

当 x＜0，y＞0 时，方程 是+=﹣1，不表示任何图形，

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