湖北省武汉市黄陂一中2015-2016学年高二（上）12月月考数学（理(4)

当 x＜0，y＜0 时，方程是﹣=1，图象是焦点在y轴上的双曲线位于第三象限内的

部分． 数形结合得，由曲线形状知，①正确，②正确．

③不正确，∵把方程中的x换成﹣y，y换成﹣x后，得到曲线方程和原来的方程不一样，∴曲线C不关于直线y=﹣x对称． ④正确，因为图象上任意的2个点连线的斜率都大于0． 故答案为 ①②④．

【点评】本题考查曲线与方程的概念，体现分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题． 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

22

17．已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）+（y﹣m）=16的内部，

命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，

命题s：“曲线表示双曲线”．

（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；

（2）若?s是?q的必要不充分条件，求t的取值范围．

【分析】（1）若p为真：（1+m）+（3﹣m）≥16，化简解得m范围．若q为真：则

22

，

解得m范围．若“p且q”是真命题，求上述范围交集即可得出． （2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，若?s是?q的必要不充分条件，则q是s的必要不充分条件，解出即可得出．

22

【解答】解：（1）若p为真：（1+m）+（3﹣m）≥16，解得m≤﹣1或m≥3．

若q为真：则，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4．

若“p且q”是真命题，则，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4．

（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1， 若?s是?q的必要不充分条件，则q是s的必要不充分条件，

则可得{m|t＜m＜t+1}?{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}，即解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．

或t≥4

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【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．有5个不同的球，5个不同的盒子，现要把球全部放入盒内． （1）共有几种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？ （3）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？ 【分析】（1）直接利用分步计数原理求解即可．

（2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，通过小球分组然后求解即可． （3）5个球分为3组有两种分法，（2，2，1），（3，1，1），故此题分为两类来求解，再求出它们的和． 【解答】解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，由分步乘

5

法计数原理，放法共有5=3125种； （2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，故共有 （3）5个球分为3组有两种分法，（2，2，1），（3，1，1），

种；

所以恰有两个盒子不放球的不同放法是种． 【点评】本题考查简单计数原理与排列组合的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，（3）解题的关键是理解5个球分为3组有两种分法，分步求不同的放法种数． 19．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；

（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；

（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值． 【分析】（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，证出

=0，

=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；

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（2）求出平面NCB1的一个法向量CNB1所成的角

，利用

与此法向量的夹角求出直线C1N与平面

⊥

，利用向量数量积

（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知

为0求出a的值，并求出． 【解答】（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC，BB1两两垂直． …（2分） 以B为坐标原点，分别以BA，BB1，BC所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4） ∵

=（4，4，0）（﹣4，4，0）=﹣16+16=0 =（4，4，0）（0，0，4）=0

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1， ∴BN⊥平面C1B1N； …（4分）

（2）解：设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，

则

则；…（8分）

，∵MP∥平

（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则面CNB1， ∴

又PM?平面CNB1，∴MP∥平面CNB1， ∴当PB=1时，MP∥平面CNB1

．

∴…（12分）

【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确． 20．已知关于x的一次函数y=ax+b，

（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=ax+b是增函数的概率；

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（2）实数a，b满足条件求函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限的概率．

【分析】（1）是古典概型，只要求出所有事件个数以及满足条件的事件个数，利用古典概型公式解答；

（2）是几何概型，分别求出已知区域的面积以及满足条件的区域面积，利用面积比求概率． 【解答】解：（1）由已知a≠0，集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，

所有事件有5×3=15个，设A事件为：函数y=ax+b是增函数的3×3=9个，由古典概型的概率公式得到，

；

（2）线性约束条件所表示的区域面积S=，

要使函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则实数a，b必须满足条件图阴影部分，

，如

其面积为S1=1，所求的概率为P=

=．

【点评】本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；关键是明确概率模型，利用公式解答．

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21．已知椭圆C：B两点． （1）求

=1，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与曲线C相交于A，

的取值范围；

（2）若B点关于x轴的对称点为E点，探索直线AE与x轴的相交点是否为定点． 【分析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣4），代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求范围；

（2）由对称求得E的坐标，直线AE的方程，由A，B满足直线方程，再令y=0，代入韦达定理，即可得到定点（1，0）． 【解答】解：（1）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=k（x﹣4），

2222

代入椭圆方程，消去y得（3+4k）x﹣32kx+64k﹣12=0，

2222

由△=（﹣32k）﹣4（3+4k）（64k﹣12）＞0， 得﹣＜k＜．

设A（x1，y1），B （x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=

①，

可得

=x1x2+y1y2=（1+k）x1x2﹣4k（x1+x2）+16k=25﹣

222

，

由﹣＜k＜，可得25﹣∈[﹣4，），

则的取值范围是[﹣4，）； （2）直线与x轴相交于定点（1，0）．

由B，E关于x轴对称，可得点E的坐标为（x2，﹣y2），

直线AE的方程为y﹣y1=

又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

（x﹣x1），

令y=0，代入①得x=．

可得直线与x轴相交于定点（1，0）．

【点评】本题考查向量的数量积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查直线恒过定点的求法，注意运用直线方程，化简整理，属于中档题．

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