高三数学第二轮专题复习1-函数(6)

N?{x|(x?3)(x?1)?0}?{x|x?3或x?1}

（Ⅱ）M?N?{x|x?3}; M?N?{x|x?1或x?}.

3．（本小题满分14分）(2005年高考·广东卷19)

设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0.（Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)?0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 解: (I) 由于在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0，故f(0)?0．若f(x)是奇函数，则f(0)?0，矛盾．所以，f(x)不是奇函数．

32由??f(2?x)?f(2?x),?f(x)?f(4?x),???f(4?x)?f(14?x)

f(7?x)?f(7?x)f(x)?f(14?x)???f(x)?f(x?10), 从而知函数y?f(x)是以T?10为周期的函数．

若f(x)是偶函数，则f(?1)?f(1)?． f(9)?0由于对任意的x?（3，7]上，f(x)?0，又函数y?f(x)的图象的关于x?7对称，所以对区间[7，11）上的任意x均有f(x)?0．所以，f(9)?0，这与前面的结论矛盾．

所以，函数y?f(x)是非奇非偶函数．

(II) 由第(I)小题的解答，我们知道f(x)?0在区间（0，10）有且只有两个解，并且

．0又f(?1)?f(?1?10)?f(，9从而

f(0)?0．由于函数y?f(x)是以T?10为周期的函数，故f(10k)?0,(k?Z)．所以

在区间[－2000,2000]上，方程f(x)?0共有

4000?2?800个解． 10在区间[2000,2010]上，方程f(x)?0有且只有两个解．因为

f(2001)?f(1)?0,f(2003)?f(3)?0，

所以，在区间[2000,2005]上，方程f(x)?0有且只有两个解．

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在区间[－2010,－2000]上，方程f(x)?0有且只有两个解．因为

f(?2009)?f(1)?0,f(?2007)?f(3)?0，

所以，在区间[－2005,－2000]上，方程f(x)?0无解． 综上所述，方程f(x)?0在[－2005,2005]上共有802个解.

(2005年高考·浙江卷·理16)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＝2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

4．(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

(Ⅲ)(文20)若h(x)＝g(x)－?f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数?的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则

2

2

?x0?x?0,??x0??x,?2 即??y?yy??y.?0?0,?0??2∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上

∴?y?x?2x，即y??x?2x, 故g?x???x?2x

222(Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x?x?1?0

2当x?1时，2x?x?1?0，此时不等式无解 2当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x?因此，原不等式的解集为??1,? 221 2??1??（Ⅲ）(文20)h?x????1???x2?2?1???x?1 ①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数，

? ???1

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②当???1时，对称轴的方程为x?1??. 1??1??ⅰ）当???1时,??1,解得???1.

1??1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.

1??综上，??0.

5．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷Ⅰ·文19)

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：（Ⅰ）?f(x)?2x?0的解集为(1,3).f(x)?2x?a(x?1)(x?3),且a?0.因而

f(x)?a(x?1)(x?3)?2x?ax2?(2?4a)x?3a.①

由方程f(x)?6a?0得ax?(2?4a)x?9a?0. ②

因为方程②有两个相等的根，所以??[?(2?4a)]?4a?9a?0，

221解得a?1或a??.

51由于a?0,舍去a?1.将a??代入①得f(x)的解析式

5163f(x)??x2?x?.

555即 5a?4a?1?0.21?2a2a2?4a?1)? （Ⅱ）由f(x)?ax?2(1?2a)x?3a?a(x? aa2a2?4a?1. 及a?0,可得f(x)的最大值为?a?a2?4a?1?0,??由? 解得 a??2?3或?2?3?a?0. a?a?0,?故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0). 6．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II·理17)

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设函数f(x)?2|x?1|?|x?1|,求使f(x)?22x的取值范围.

本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分12分

解：由于y?2是增函数，f(x)?22等价于|x?1|?|x?1|?（1） 当x?1时，|x?1|?|x?1|?2，?①式恒成立。 （2） 当?1?x?1时，|x?1|?|x?1|?2x，①式化为2x?（3） 当x??1时，|x?1|?|x?1|??2，①式无解

x3 ① 233，即?x?1 24综上x的取值范围是?,???

?3?4??

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