两端平方整理得：a-2xa+2=0?x=
2yy
a2y?22ayay?2a?y ?2∴f?1ax?2a?x2? ∵a>1时，f(x)=loga??x???x?x?2?值域为loga??2?2,??
?0
∴ f-1 (x)的定义域为：a>1时，x∈loga2,?? 0
(2) P(n)=
2f2?1??????(n?loga2)?22n2?n1(a?a)?(an?a?n) 22223n?3?nan?a?n3n?3?n由Pn????an?a?n?3n?3?n
222即a+a－(3－3)=
n-nn-n
(an?3n)[(3a)n?1]3nan?0
∵(3a)n>0 ∴(an－3n)[(3a)n－1]<0?
1loga2?a>1
?1??a?3即?3?1?a?3 ?a?1?【例4】 f(x1?x2)?设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①
f(x1)f(x2)?1 ②存在正常数a，使f(a) = 1，求证：（1）f(x)为奇函数；
f(x2)?f(x1)（2）f(x)为周期函数，且一个周期为4a。 证明：（1）令x =x1 - x2 则f( - x) = f ( x2 - x1)=
f(x2)?f(x1)?1f(x1)?f(x2)?1??
f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)= －f (x1 －x2 )= －f (x)，∴f (x)为奇函数。
（2）∵f( x+a ) = f[x － ( －a ) ]=
f(?a)f(x)?1?f(a)f(x)?1f(x)?1 ??f(?a)?f(x)?f(a)?f(x)f(x)?1f(x)?1?1f(x?a)?1f(x)?11???∴f (x+2a )=
f(x?a)?1f(x)?1f(x)?1f(x)?1∴f ( x+4a)=?1??f(x?2a)1=f (x) 1?f(x) ∴f (x)是以4a为周期的周期函数。
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【例5】
已知函数f(x)=logmx?3
x?3(1)若f(x)的定义域为?α,β?，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；
(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为?logmm?β?1?,logmm?α?1??的定义域区间为?α,β? (β＞α＞0)是否存在？请说明理由.
解：（1）
x?3?0?x＜–3或x＞3. x?3∵f(x)定义域为?α,β?,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有
x1?3x2?36(x1?x2)???0 x1?3x2?3(x1?3)(x2?3)当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在?α,β?上的值域为?logmm?β?1?,logmm?α?1?? ∵0＜m＜1, f(x)为减函数.
?f(β)?logm??∴??f(α)?logm??β?3?logmm(β?1)β?3
α?3?logmm(α?1)α?32??mβ?(2m?1)β?3(m?1)?0,又β?α?3 即?2??mα?(2m?1)α?3(m?1)?0即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根
?0?m?1???16m2?16m?1?0?2?3?∴?2m?1 ∴0＜m＜
4?3??2m???mf(3)?0故当0＜m＜
2?3时，满足题意条件的m存在. 4【例6】
已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 解： （1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：
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???(m?1)2?4(m?4)?0??tanA?tanB?m?1?0 又A、B锐角为三角形内两内角 ?tanA?tanB?m?4?0?∴
π＜A+B＜π 2tanA?tanBm?1??0
1?tanAtanB?m?3∴tan(A+B)＜0，即tan(A?B)??m2?2m?15?0?m?1?0??∴?m?4?0∴m≥5 ??m?1?0??m?3(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3
m?12(m?1)2(3)解：∵f(sinα)=sinα–(m+1)sinα+m=(sinα? )?m?242
且
m?1≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8. 2即1+(m+1)+m=8，∴m=3
【例7】
已知函数f?x??log2?x2?2mx?2m2?????的定义域为实数集。2m?2?1（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有m?M，恒有 f?x??2。
证明（1）∵f?x??log2?x2?2mx?2m2?????的定义域为实数集 m2?2?1∴x2?2mx?2m2?1m2?2?0恒成立
1??∴????2m?2?4?2m2?2??0m?2??
m4?2m2?1∴?0m2?2∴M?mm??2或m?2，m?R??（2）令u?x??x2?2mx?2m2?1m?22??x?m?2?m2?1m?22
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∴u?x?min?m2?12m?2∴log2u?x??log24?2?m2?2?1m?22?2?2?2?4
【例8】
设f?logax?=
a(x2?1)x(a2?1)，（a>0,a≠1），求证：（1）过函数y=f(x)
图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f(3)>3。 解：（1）令t=logax，则x=at，f(x)= ∴f(x)=
aa?12aa2?1(at?a?t) (t∈R)
(ax?a?x) (x∈R)
a(ax1?ax2·)(ax1?x2?1)(a?1)a2x1?x2设x1?x2，f(x1)－f(x2)=
(1)a>1时，?，f(x1)
x1?x2?a4?a2?1a2?a2?21?1≥2a·2?1?3 2aa(a?a)?a(a6?1)a3(a2?1)1∵a>0，a≠1 ∴a2≠【例9】
1a2 ∴上述不等式不能取等号，∴f(x)>3
已知函数f(x)=lg(ax?kbx)(k?R?，a?1?b?0)的定义域为（0，+
∞），问是否存在这样的a,b，使f(x)恰在（1，+∞）上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。
aa解：由ax?Kbx?0，得()x?K，∵a>1>b>0，∴>1，∴x>logaK
bbb 又f(x)定义域为（0，+∞），∴logaK=0，K=1，∴f(x)=lg(ax?bx)
b设0
∴0< a－b< a
x1x1x2－ b
x2，∴0<
ax1?bx1ax2?bx2<1，∴lg
ax1?bx1ax2?bx2<0
∴y1?y2?0,y1?y2，∴f(x)在（0，+∞）上是增函数 ∴x?(1,+∞）时，必有f(x)>f(1)=lg(a－b)
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∵f(x)在（1，+∞）上取正值，∴lg(a－b)=0 a－b=1 (1) 又f(3)=lg4 ∴lg(a3?b3)=lg4，a3?b3 =4 (2) 解(1)(2)得：a?
【例10】
设二次函数f(x)= ax2 +bx+c (a>0且b≠0)。
?1?51?51?5?1?5，b=，即有在a?，b=满足条件 2222(1) 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求f(x)的解析式和f(x)的最小值；
(2) 已知f(x)的对称轴方程是x=1，当f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a, b, c满足的条件；
(3) 已知|b|
又∵a>0 ∴a=1 c=-1 此时b=+1 ∴f(x)=x2 + x-1 于是 f(x)=(x + (2)依题意?55125)??? ∴[f(x)]min?? 2444b?1即b=-2a，∵a>0且b≠0 ∴b<0 2a5 4令f(x)=0的两根为x1，x2，则函数y=f(x)的图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0) 且x1?x2?2,x1x2?c，满足题设的充要条件是 a?4a2?4ac?0???b2?4ac?0?a?c?0?a?c?? ? ??????c2|a?c|?ac?0|1?|?1?????|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?2a? ∴a>0 c?0 b<0且b=－2a为所求 (3)方法1：
∵|2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|<|a+b+c|+|a-b+c|<2 ∴|b|?1 又|b|?|a| ∴|b4ac?b2b21b5 又|c|=|f(0)|?1 又|f(?)|?||?|c?|?|c|?||?|b|?
2a4a4a4a4b|?1 a 而f(x)所示开口向上的抛物线且|x|<1，则|f(x)|的最大值应在x=1或x=-1或x=-因|f(-1)|<1, |f(1)|?1, |f(- 方法2：
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b55)|? 故|f(x)|?得证。
442ab时取到，2a
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