高三数学第二轮专题复习1-函数(2)

?1?（4）如f?x????．

?2?

六、专题练习 一、选择题

1．已知四个函数：①y=10x ②y=log0.1x ③y=lg(-x) ④y=0.1x，则图象关于原点成中心对称的是：（C）

A．仅为③和④ B．仅为①和④ C．仅为③和② D．仅为②和④ 2．设f(x)=log2(x+1)，f?1（1）= 。（1）

3．．已知，定义在实数集R上的函数f(x)满足：（1）f(-x)= f(x)；（2）f(4+x)= f(x)；若当 x?

[0，2]时，f(x)=?x2+1，则当x?[-6，-4]时，f(x)等于 （ D ） （A）?x2?1 （B）?(x?2)2?1 （C）?(x?2)2?1 （D）?(x?1)2?1 4．．已知f(x)=2 x+1，则f （A）

?1x(2)的值是 （ A ）

131 （B） （C） （D）5 22515．已知函数f(x)=x3+a且f(-1)=0，则f?（的值是 （ A ） 1） （A）0 （B）2 （C）1 （D）-1 6．函数y?x?1（x≥0）的反函数是 （ A ）

22x??1）x??1） （A）y?(x?1)（ （B）y=(x?1)（

（C）y?x2?（ （C）y?x2?（ 1x??1）1x??1）7．函数f(x)的反函数为 g（x），则下面命题成立的是 （ A ） （A）若f(x）为奇函数且单调递增，则g（x）也是奇函数且单调递增。 （B）f(x）与g（x）的图像关于直线x+y=0对称。 （C）当f(x）是偶函数时，g（x）也是偶函数。 （D）f(x)与g(x)的图像与直线一定相交于一点。

8．若函数y=f(x)的图像经过点（0，1），则函数y=f(x+4)的反函数的图像必经过点 （ A ）

（A）（1，-4） （B）（4，1） （C）（-4，1） （D）（1，4） 9．若函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间 ???，4?上是

减函数，则实数a的取值范围是( B )

A．a?3 B． a??3

C． a??3

D． a?5

10．将函数y?125x?3x?的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数 22第 6 页 共 29 页

的

解A．y?C． y?析

式

为

( B． y? C )

1?x?5?2?1 21?x?1?2?1 21?x?1?2?5 2D． y?1?x?5??1 211．二次函数f?x??ax2?bx?c中，a?0且a?1，对任意x?R，都有

?1??，则（ B ） logf?x?1??f?2?x?，设m?faloga3，n?f??a?a????

A．m?n C．m?n

B．m?n

D．m、n的大小关系不确定

12．函数f?x??log1(x2?4x?31)的值域为（ B ）

3

A．?3，??? B．???，?3? C．?8，???

D．R

13．已知y?loga?2?ax?在0，1上是x的减函数，则a的值取范围是（ B ）

A．(0, 1)

34??

12B．(1, 2) C．(0, 2)

D．?2，???

二、填空题 1．函数y?x???1?x? 的定义域是 。（?0,1?） 2．函数y?log0.3?x?2x的单调递增区间是 3．函数y? ?2??1，2?

log0.1?x?2?的定义域是 ??2，?1?

1．集合A?{(x,y)|y?x2?mx?2}，B={(x,y)|x?y?1?0且0?x?2}。若A?B??，

三、解答题

求实数m的取值范围。

解：由x2?mx?2?x?1?x2?(m?1)x?1?0 x?[0,2]， 由题设知上述方程在[0,2]内必有解。

3所以：⑴ 若在[0,2]只有一个解，则f(0)f(2)?0?m??

2?f(2)?0?m?13?⑵若在[0,2]只有二个解，则?0???2???m??1

22?????0由⑴⑵知：m??1

2．设两个方程x2?ax?b?0和x2?bx?a?0有一公共根，问：

⑴a与b之间有什么关系；⑵当a?[?1,0]，b?[?1,0]时，求a2?b2的最大值与最小值。

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解：⑴两方程相减得：(a?b)x?a?b，显然a?b，否则两方程为同一方程。所以x?1，代入方程得：a?b?1?0且a?b 11⑵a2?b2?a2?(?a?1)2?2(a?)2?；

22所当a?0或a?1时，(a2?b2)max?1； 而当a??13时，b???[?1,0]，所以无最小值。 223．当1?a?2时，比较logax与2log2ax的大小。

解：logax?2log2ax?lgx2lgxlgx?lg2?lga??? lgalg2algalg2a?1?a?2，?lg2?lga，lga?0，lg2a?0

当0?x?1时，lgx?0，lgax?2log2ax?0，?logax?2log2ax

当x?1时，lgx?0，lgax?2log2ax?0，?logax?2log2ax 当x?1时，lgx?0，lgax?2log2ax?0，?logax?2log2ax

4．x为何值时，不等式logmx2?logm?3x?2?成立。

?x?0?x2?0??2?解：当m?1时，?3x?2?0??x??1?x?2

3?2??x?3x?2??1?x?2?x?0?x2?0??22?当0?m?1时，?3x?2?0??x???x?1或x?2

33?2??x?3x?2??x?1或x?2故m?1时，1?x?2 0?m?1时，

2?x?1或x?2为所求。 35、已知函数f(x)?1?ln(x?1).(x?0) x（1）函数f(x)在区间（0，+?）上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当x?0时，f(x)?k恒成立，求正整数k的最大值. x?11x11解：（1）f(x)?2[?1?ln(x?1)]??2[?ln(x?1)]

xx?1xx?1 ?x?0,?x2?0,1?0.ln(x?1)?0.?f(x)?0. x?1 因此函数f(x)在区间（0，+∞）上是减函数. （2）（方法1）当x?0时，f(x)?k恒成立，令x?1有k?2[1?ln2] x?1又k为正整数. ?k的最大值不大于3.??7′

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下面证明当?k?3时,f(x)?k(x?0)恒成立. x?1即证当x?0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立. 令g(x)?(x?1)ln(x?1)?1?2x,则g?(x)?ln(x?1)?1,

时,g?(x)?0;当0?x?e?1时,g?(x)?0. 当x?e?1?当x?e?1时,g(x)取得最小值g(e?1)?3?e?0.

?当x?0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立.

因此正整数k的最大值为3.

（2）（方法2）当x?0时，f(x)?k恒成立，

x?1即h(x)?(x?1)[1?ln(x?1)]?k对x?0恒成立.

x即h(x)(x?0)的最小值大于k.

x?1?ln(x?1),记?(x)?x?1?ln(x?1)?(x?0)

x2x??(x)??0,??(x)在(0,??)上连续递增，

x?1h?(x)?又?(2)?1?ln3?0,?(3)?2?2ln2?0,

??(x)?0存在唯一实根a，且满足：a?(2,3),a?1?ln(a?1).

由x?a时,?(x)?0,h?(x)?0;0?x?a时,?(x)?0,h?(x)?0知：

h(x)(x?0)的最小值为h(a)?因此正整数k的最大值为3.

(a?1)[1?ln(a?1)]?a?1?(3,4).

a第2讲

一、典型例题

【例1】

关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则

实数a的取值范围为 .

解：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］. 等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值. 答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)

【例2】

设f(x)是定义在??1,1?上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于

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直线x?1对称，而当x??2,3?时，g(x)??x2?4x?c（c为常数）。 （1）求f(x)的表达式；

（2）对于任意x1，x2??0,1?且x1?x2，求证：f(x2)?f(x1)?2x2?x1； （3）对于任意x1，x2??0,1?且x1?x2，求证：f(x2)?f(x1)?1. 解：（1）设g(x)上点Q(x0,y0)与f(x)上点P（x，y）对应， ∴y0?y,x0?2?x ；∵(x0,y0)在g（x）图象上

∴y??(2?x)2?4(2?x)?c??4?4x?x2?8?4x?c?x2?4?c

∵g(x)定义域为x∈[2,3]，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称， 所以，上述解析式是f(x)在[–1，0]上的解析式 ∵f(x)是定义在[–1,1]上的奇函数，∴f(0)=0，∴c=–4 所以，当x∈[0，1]时，–x∈[–1，0]，f(x)=–f(–x)=–x2

2???x,x?[?1,0]所以f(x)??2

??x?4,x?(0,1]（2）当x∈[0，1]时，|f(x2)?f(x1)|?|x22?x12|?|(x2?x1)(x2?x1)| ∵x1,x2?[0,1],x1?x2，∴0?x1?x2?2，所以|f(x2)?f(x1)|?2|x2?x1| （3）∵x1,x2?[0,1]，∴0?x22?1,0?x12?1

∴?1?x22?x12?1，∴|x22?x12|?1 即|f(x2)?f(x1)|?1

【例3】

2?已知函数f(x)=loga??x?x?2?(a>0, a≠1)

?? (1) 求反函数f?1(x)，并求出其定义域。

2?13n?3?n (2) 设P(n)=(n∈N)，求a的取值范围。 f(n?loga2)，如果P(n)<

222?解：(1) 设y= f(x)=logloga??(x?x?2)?(x?2)

??∴ay=x+x2?2?ay?x?x2?2

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