辽宁省各市2012年中考数学分类解析 专题4：图形的变换(5)

8. （2012辽宁营口14分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动 点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F． (1) 如图1，求证：AE=DF； (2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG?EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由； (3) 如图3，若AB=23，过点M作 MG?EF交线段BC的延长线于点G． ① 直接写出线段AE长度的取值范围； ② 判断△GEF的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝90，∠AME=∠FMD。 ∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。 （2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下：

过点G作GH⊥AD于H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=2。 ∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。 ∴∠AME＋∠GMH=90°。

∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。 ∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。

又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。 ∴△GEF是等腰直角三角形。

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0 （3）①233＜AE≤23。

②△GEF是等边三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=23。

∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。 ∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴在Rt△GME中，∴tan∠MEG=

MGEM?GHAM?MGEM2??GHAM。

0

233。∴∠MEG=60。

由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。

又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。

【考点】矩形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等边三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。 【分析】（1）根据已知和矩形的性质由ASA得出△AEM≌△DFM，即可得到AE=DF。

（2）△GEF是等腰直角三角形。过点G作GH⊥AD于H，由AAS证明△AEM≌△HMG得到

ME=MG，从而∠EGM=45°。由（1）△AEM≌△DFM得ME=MF。由MG⊥EF得到GE=GF。从而证

得

∠EGF=2∠EGM =90°。因此△GEF是等腰直角三角形。

另解：①过点M作MH⊥BC于H，得到△AEM≌△HGM。

② 过点G作GH⊥AD于H，证出△MGH≌△FMD，证出CF=BG，CG=BE，证

出

△BEG≌△CGF。从而△GEF是等腰直角三角形。（若E与B重合时，则G与C重合，△GEF就是△CBF，易知△CBF是等腰直角三角形）。

（3）①如图，当点G与点C重合时， 由AD=4，M是AD的中点得MD=2；由AB=23得DC=23。

∴tan∠DMC=

DCMD?232?3。

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∴∠DMC=60。∴∠AME=30。 ∴AE?AM?tan?AME?2?33?233。

00

当点E与点B重合时，AE?AB?23。 ∴线段AE长度的取值范围为233＜AE≤23。

②△GEF是等边三角形。过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，则一方面由证

明△AEM∽△HMG可得

MGEM0

?GHAM。在Rt△GME中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角

函数值可求得∠MEG=60。另一方面由（1）△AEM≌△DFM得ME=MF，又由MG⊥EF根据线段垂直平分线的性质得GE=GF。从而得出△GEF是等边三角形。

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