辽宁省各市2012年中考数学分类解析 专题4：图形的变换(4)

得出∠BMC=90?+?2：

∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=同理可得：∠BAC=90???2180???ADE2=90???2。

。

∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。 ∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。 ∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α， ∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90???2+α=90?+?2。

5. （2012辽宁阜新12分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．

甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

【答案】解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。

②结论：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。 在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，

- 16 -

∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。 延长BD交AC于F，交CE于H。 在△ABF与△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC， ∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。

（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。

【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。 【分析】（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。

②BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知

△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等

∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。

（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成

立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。

6. （2012辽宁锦州12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动

点（点D

不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：① BD⊥CF. ② CF=BC－CD.

(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三

条线段之间

的关系；

(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其

它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.

②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.

- 17 -

【答案】解：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。 ∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。

∴BD⊥CF 。

② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF， ∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。

（2）CF=BC+CD。 （3）①CF=CD-BC 。

②△AOC是等腰三角形。理由如下： ∵∠BAC=90°

∠ABD=180°-45°=135°。

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。 ∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。 ∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。 ∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC=∵在正方形ADEF中，OA=

形。

【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。

【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到

- 18 -

，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。则

12DF 。

12AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角

∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。

由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。

（2）同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC＋CD，从而CF=BC＋CD。 （3）①同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD－BC，从而CF= CD－BC。

②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到

∠FCD=90°。

由三角形中线的性质得到OC=是等腰三角形。

7. （2012辽宁铁岭12分）已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？ （填“是”或“否”），∠BOE= 度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=3AB′，AC=3AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

12DF。由正方形ADEF中，OA=

12AE ，AE=DF，从而得到△AOC

【答案】解：（1）①是； 120。

②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE。 ∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ。 ∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴∠ADB=∠AEC。

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°。 ∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，∠BAE=∠BAD+∠DAE， ∴∠DAE+∠BOE=180°。

- 19 -

又∵∠DAE=60°，∴∠BOE=120°。

（2）当0°＜θ≤30°时，∠BOE =30°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=120°。

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。

【分析】（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形。

∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，

在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 ∵θ=20°，∴∠ABD=∠AEC=

12（180°﹣20°）=80°。

又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，

∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°﹣80°﹣80°﹣80°=120°。

②利用“SAS”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得

∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解。

（2）如图，∵AB=3AB′，AC=3AC′，∴AB?AB?AC?AC?33。∴B′C′∥BC。

∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形。 根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴∠ABD=∠ACE。

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE）

=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD）=180°﹣（∠ACB+∠ABC） =180°﹣（60°+60°）=60°。

当0°＜θ≤30°时，∠BOE=∠BOC=30°，

当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°。

- 20 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库辽宁省各市2012年中考数学分类解析 专题4：图形的变换(4)在线全文阅读。