辽宁省各市2012年中考数学分类解析 专题4：图形的变换(3)

②过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。通过证明△ADB≌△CEA从而证明△CEN是等腰直角三角形即可。 （2）如图，由已知得：

∠θ=180－2∠ABC－∠1（∵AB=AC）

=1800－∠2－∠6－∠1（∵∠BAC=∠MBN，BM=BN） =（180－∠2－∠1）－∠6

=∠3＋∠4＋∠5－∠6（三角形内角和定理） =∠6＋∠5－∠6=∠5（∠3＋∠4=∠ABC=∠6）。 ∴点A、B、N、C四点共圆。 ∴∠ANC =∠ABC ==90°－

1200

∠BAC。

2. （2012辽宁朝阳10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一动点（不与B、C重合）。连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F。

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论。

【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°。

∴∠BAE+∠BEA=90°。 ∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°。

∴∠BEA+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。 ∴△ABE∽△ECF。

（2）E是中点时，∠BAE=∠EAF。证明如下：

连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H， ∵E为BC中点，∴BE=CE。 ∵AB∥DH，∴∠B=∠ECH。

∵∠AEB=∠CEH，∴△ABE≌△HCE（AAS）。∴AE=EH。 ∵EF⊥AH，∴△AFH是等腰三角形。∴∠EAF=∠H。

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∵AB∥DH，∴∠H=∠BAE。∴∠BAE=∠EAF。 ∴当点E在BC中点位置时，∠BAE=∠EAF。

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质。

【分析】（1）由正方形的性质和已知条件证明∠BAE=∠FEC即可证明：△ABE∽△ECF；

（2）连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，当点E在BC中点位置时，通过证明三角形

全等和等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明∠BAE=∠EAF。

3. （2012辽宁大连11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点 B时，点P、Q同时停止运动。过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R。设点Q的运动时间 为t(s)，△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2)。 （1）t为何值时，点Q'恰好落在AB上？ （2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）S能否为

98cm2？若能，求出此时的t值，若不能，说明理由。

【答案】解：（1）如图，连接QQ'，点Q'恰好落在AB上时，由AC＝8，BC＝6，根据轴对称的性质，得

CQ=CP=t，BQ=6－t，QQ'=2t，QQ'∥CA。 ∴△BQQ'∽△BCA，∴

解得，t? ∴当t?1255125BQBC?QQ'CA，即

6?t6?2t8。

。

时，点Q'恰好落在AB上。

时，点Q'在△PAR内，△PQ'R与△PAR重叠部分即△PQ'R。

RPBC?PACA（2）当0?t?12∵PA=8－t，△PAR∽△CAB，∴

- 12 -

，即

RP8t??68。∴RP=6?34t。

∴△PQ'R与△PAR重叠部分的面积S=1251?3?32??6?t??t=?t+3t。 2?4?8当

△RDP。

设AB与PQ'相交于点D，过点D作DH⊥CA于点H。 由CP=CQ，∠C=90得∠QPC=45，

根据轴对称的性质，得∠Q'PA=∠PDH=450。∴DH=PH。 设DH=PH=x，则HA=8－t－x。 ∵PH∥BC，∴△DHA∽△BCA， ∴

DHBC?HACA70

0

，即。

x6?8?t?x8。

∴x?∴

24?3tS?S?RDP?S?RPA?S?DPA?12?8?t??6???3?124?3t921872t???8?t???t?t+。 4?275677综上所述，S与t的函数关系式为

?3212???t+3t0?t????5??8?。 S??9187212??2?t?t+

98。

【考点】动点问题，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。 【分析】（1）画出图形，根据点Q'恰好落在AB上的特点，利用△BQQ'∽△BCA而得到

BQBC?QQ'CA，求解即可。

125125125 （2）分0?t? （3）对0?t? 对0?t?和和

125125

∵t=4+13>，∴t=4?13。

- 13 -

对

125有

872921t?+t=567789，整理得t2?16t+57=0，解得t=8?7。

∵8+7>6，∴t=8?7。

综上所述，当t=4?13或t=8?7时，S=

98。

4. （2012辽宁丹东12分）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、

CE交于 点M．

（1）如图1，若AB=AC，AD=AE

①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE

则线段BD与CE的数量关系为 ，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图

形（要求：尺

规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用

α表示）．

【答案】解：（1）如图1。

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。同理可得：∠BAC=180°－2α。∴∠DAE=∠BAC。 ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。 在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。 ②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。

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∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。 （2）如图2，BD=kCE，90??（3）作图如下：

?2α。

90?+?2。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质

【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE。

②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质

即可得出

∠BMC=∠DAE=180°－2α。

（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=

同理可得：∠BAC=90??∴∠DAE=∠BAC。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。 ∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。 ∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。 ∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90???2180???ADE2=90???2。

?2。

。

（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等

边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90???2，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：

AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可

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