高考数学大题解题策略2009版(7)

如果恒等变形不是把

222b?统一为，而是把统一为，则可记，由第（I）aannn3n3n3n问有

解法3 （换元、作差、配方）

左边?右边?111??b?x? 2?n1?bn1?x(1?x)??x?bnb?x?n2?1?bn??1?x?(1?x)x?bn?11????1?x?1?bn1?x?2

?x?bn???1?bn?(1?x)2移项即得所证．有恒等式

?0.?bn?x?b?x11??n2?． 21?bn1?x(1?x)?1?bn?(1?x)与泰勒展开式

211112 ??x?x?x?x????00231?x1?x0(1?x0)(1?c)2比较，有

?x?bn?12?b?x ??n23(1?c)?1?bn?(1?x)可见，c的取值不会使余项小于0，并且，由此可以求出拉格朗日型余项中的c．

第（III）问

高等背景 单独看第（III）问，可以认为是一道数列不等式问题：

3nn2题目1 已知数列an?n，证明：a1?a2???an?．

3?2n?1（6）不动点

06-22.（本小题满分14分）已知函数f?x??x?x?32x1?1??,且存在x0??0,?,使24?2?f?x0??x0.

（1）证明：f?x?是R上的单调函数； （2）设x1?0,xn?1?f?xn?，y1? xn?xn?1?x0?yn?1?yn;

1,yn?1?f?yn?，其中n?1,2,?，证明 2（3）证明：

yn?1?xn?11?.

yn?xn232证明 1 （1）作函数g?x??f?x??x，即g?x??x?x?x1?，有 24g?0??11?1??0,g?????0， 48?2?据连续函数的介值性质知，存在x0??0,?,使g?x0??0，即f?x0??x0.

??1?2?111?1?g?x??3x?2x??3????0????0,又由 224?2?/22知g?x?在?0,?上是单调减函数，故使g?x0??0的x0是唯一的，即存在唯一的

2?1????1?x0??0,?,使f?x0??x0.（f?x0??x0是不动点）

?2? 说明 可见，条件x0??0,??1??的存在性是可以证明的，只是考虑到中学生的接受性才2?作为已知给出．（通过解三次方程还可以求出x0）．

08-22题 （本小题满分14分）已知数列{an}的首项a1?（1）求{an}的通项公式； （2）证明：对任意的x?0，an≥33ann?1，2，?．，， an?1?52an?111?2?2，?； ??x??，n?1，1?x(1?x)2?3n?n2（3）证明：a1?a2???an?．

n?1第（1）问相当于

题目 已知数列{an}的首项a1?33an，2，?．求?an?的通项公式．，an?1?，n?1

52an?1背景揭示1——特征方程求不动点．

公式解法的过程是，先解递推公式所对应的特征方程，求出不动点（函数y?f?x?的

不动点是指函数值等于自变量时x的取值，即方程x?f?x?的解） x?然后计算

3x?x1?1,x2?0． 2x?1an?1?x13an，把an?1?，x1?1,x2?0代入，可得

an?1?x22an?13an?1an?1?12an?11a?1???n ，

3aan?1?0n?03an?02an?1已转化为等比数列．即

?11?1?1???1?， an?13?an?初等解法 由an?1?3an作倒数变形，

2an?1121， ??an?133an两边减去1

?11?1?1???1?， an?13?an?得??1?21?1?是以为首项，为公比的等比数列，有．

33?an?1212?1??n?1?n， an3333n得an?n．

3?2第（1）问相当于矩阵乘方 （7）矩阵乘方

背景揭示2——二阶矩阵乘方． 对递推方程作迭代

3an?13an2an?1?19an?1?? an?1?，

2an?12?3an?1?17an?1?12an?1?13??3 0??9 0??3 0?其系数相当于二阶矩阵?作了一次乘法沿着继续迭代下去求?????．?2 17 12 1??????通项的思路，一般地，可将递推方程xn?1?n2?a b?axn?b对应为二阶矩阵??，然后计算出

cxn?d?c d??a b??? ???x1???矩阵的乘方?，便可得 x????n?1c d? ??x1??????对5类常见数列的通项，统一为用二阶矩阵的乘方来求解：

ax?b?a b??? ???x1???① xn?1?n→?→． x????n?1cxn?d?c d??? ???x1??② xn?1?qxn?d (q?1,d?0)

n?q d??qn (qn?1?qn?2???q?1)d?→?? ???0 10 1????n?x1, ?n?1??→xn?1??qn?1x1??d?x1?qn?d

. ?n?2??q?1??1 d??1 nd?③xn?1?xn?d→?????→xn?1?x1?nd．

0 10 1????n?q d??qn 0?n④xn?1?qxn→??→xn?1?qx1． ????0 1??0 1?⑤xn?2??xn?1??xn，令yn?1?nxn?2 xn?1→yn?1?

?yn??yn?? ??→??→? ?1 0?n

4 2009年高考复习的主要提示

2009年的考试大纲没有什么变化——稳定． 1、明确高考复习的指导思想

（1）以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向． （2）依纲靠本．

（3）以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素． 2、全面理解基本功

（1）成功解题的四个基础． （2）解题失误的四种形式． 3、突破一个“老大难” 会而不对、对而不全． 综合治理．

4、注意新动向、捕捉新题型．

课本背景；竞赛背景；名题背景；高等数学背景；日常生活背景． 5、增强速度意识，合理分配时间． 潜在丢分、隐含失分．

6、提高解立体几何的成功率． 讲解《数学高考工作》

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