高考数学大题解题策略2009版(4)

什么意思？可以理解为每一项的字母x都等于1： x6?1,x5?1,x4?1,x3?1,x2?1,x?1（消除差异），把x?1代人已知式，得

a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??3?1?=32．

说明 在差异分析观点之下，取值x?1就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”的策略思想相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题（化归为往年的高考题）：

例11-1 已知(1?2x)7?a0?a1x??a2x2??a7x7，那么a1?a2???a7?____． （1989年高考数学第（16）题）

解 设f?x??(1?2x)，则

76 a1?a2???a7?f?1??f?0??(1?2)7?1??2.填?2．

说明 我们在阅卷中发现，相当一部分考生令x?1得答案为?1，其实得到的是 a0?a1?a2???a7??1， 而所求的值，应再减去a0??1，从而 a1?a2???a7??2．

究其原因，是考生一见题型很熟悉（如课本相关习题中见过），没有认真看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”．

例2-19-2 若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则(a0?a2?a4)2?(a1?

a3)2的值为（ ）

（A）1 （B）?1 （C）0 （D）2 （1999年高考数学理科第（8）题）

解法1 设f?x??(2x?3)4，则

(a0?a2?a4)2??a1?a3?2= ?a0?a2?a4?a1?a3? ?a0?a2?a4?a1?a3? ?f?1?f??1??(2?3)4(?2?3)4． ?(4?3)4?1．选（A）

解法2 (a0?a2?a4)?(a1?a3)

=a02?a12?a22??a32a42?2a0a2?2a2a4?2a2a4?2a1a3

至此，就再也算不下去了，应该说，解法的每一步运算都没有知识性错误，但从整体

22上看，有解题方向调控上的策略性错误．

1.3. 5 突破一个“老大难”

高考阅卷启示我们，许多中上水平考生常在“会而不对、对而不全”上拉开录取与落榜的距离.这是一个“老大难”问题.

（1）会而不对.有的考生，拿到题目不是束手无策，而是在正确的思路上，或考虑不周、或推理不严、或书写不准，最后答案是错的，这叫“会而不对”．

（2）对而不全．另一些考生，思路大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺欠重大步骤，中间某一逻辑点过不去；或遗漏某一特殊情况、讨论不够完备；或潜在假设、或以偏概全，这叫“对而不全”．

1-4 运用答题策略

1-4-1分段得分的基本认识.

（1）分段得分的法定依据是高考“分段评分”. （2）分段得分的基本内容是防止“分段扣分”，争取“分段给分”. （3）分段得分的技术基础是解题策略.

（4）分段得分的总体功能是：进可全题解决，退可分段得分. 1-4-2 分段得分的主要技术

（1）分解分步 —— 缺步解答. （2）引理思想 —— 跳步解答. （3）以退求进 —— 退步解答. （4）正难则反 —— 倒步解答. （5）扫清外围 —— 辅助解答.

2 解答高考数学题的主要建议

高考题的特殊性：一道数学题成为高考题后，将具有不同于平时作业题的特性，如 ●能力的代表性， ●分数的选拔性， ●时间的限定性， ●评分的阶段性.

需要我们迅速解决两个基本问题：

●从何处下手？ ●向何方前进？

2-1 模式识别

2-1-1模式识别的认识

(1)基本含义.

在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型.当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于我们已经掌握的哪个基本模式，然后检索出相应的解题方法来解决，这是我们在数学解题中的基本思考，也是解高考题的重要策略. （2）怎样积累模式.

●总结课本内容，归纳基本模式．

学完一章节（或跨章节）后，总结一共有几个题目类型，每个题型有哪些解决方法？

●分析解题过程，提炼深层结构．

可以重点分析最近三五年的高考综合题，揭示“形异而质同”的深层结构． (3)模式识别在求解高考题中的具体化：

●化归为课本已解决过的问题. ●化归为往届高考题.

拿到一道高考题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了.

(4)模式识别的层次. ●直接用， ●转化用， ●分解组合用.

(5)模式识别解高考题的有效性

●因为课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．

离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课本”这个根本．

●课本是高考命题的基本依据．

有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题． 有的试题是课本概念、例题、习题的改编．

有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓． 少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求． 按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的． ●这是一种行之有效解题策略．

这种做法体现了化归思想和模式识别的解题策略，对50%～80%的高考题都是有效的．所以，拿到一道高考题，在理解题意后，应立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了．就是说，从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进．

2-2 差异分析

(1)基本含义.

如果我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，那么解题的实质就在于设计一个使目标不断减少的过程.通过寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思考方法，叫做差异分析法.

(2)差异分析法的使用.

错误！未找到引用源。通过题目中出现的元素，元素间所进行的运算，以及元素之间所存在的关系去找出差异.

错误！未找到引用源。对于所找出的目标差，要运用基础知识和基本方法立即作出减少目标差的反应.

错误！未找到引用源。减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差逐渐减少、步步积累,最终完成解题.

运用差异分析法可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？就从找目标差开始，就向着目标差减少的方向前进.

2-3 层次解决

人们在创造性解决问题的过程中，思维是按层次展开的，先粗后细，先宽或窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节，或者说，先作大范围的搜索，然后再逐步收缩包围圈.通常分成三个层次，层层深入地解决.

（1）一般性解决：即在策略水平上的解决，以明确解题的总体方向.这是对思考作定向调控.

在这一层面上，根据中学阶段的实际，自觉应用函数观点和方程观点是十分有益的．

(2)功能性解决：即在数学方法水平上的解决,以确定具有解决功能的解题手段,这是对问题解决作方法选择.

(3)特殊性解决.即在数学技能水平上的解决,以进一步缩小功能性解决的途径,明确运算程序或推理步骤.这是对技巧作实际完成.

2-4 数形结合 （1）基本含义 在解题中，既用数的抽象性质来说明几何形象的事实，又用图形的直观性质来说明代数抽象的事实，在数与形的双向结合上寻找解题思路.

（2）数形结合的途径 ①通过坐标系 ②转化 ③构造

（3）数形结合的原则 ①等价性原则 ②双向性原则 ③简单性原则

2-5 案例分析

（1）案例1——感悟高考解题的基本思路

65432例1-1 设a6x?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0??3x?1?，求a6?a5?a4+

6a3?a2?a1?a0．

[1985年高考数学理科第二?题]

讲解 将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析

a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0??3x?1?a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1?a0?？654326，

可见，消除差异应同时取x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,所以取x?1代人已知式，得

a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??3?1?=32．

评析 在差异分析观点之下，取值x?1就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似的高考题：

6例1-2 已知(1?2x)7?a0?a1x??a2x2??a7x7．那么a1?a2???a7?____． [1989年高考数学第（16）题（4分）]

例1-3 若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则(a0?a2?a4)2?(a1?

a3)2的值为（ ）

（A）1 （B）?1 （C）0 （D）2 [1999年高考数学理科第（8）题]

例1-4 若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2???a2004x2004(x?R)，则(a0?a1)?(a0?

a2)?(a0?a3)???(a0?a2004)?_____．

[2004年天津理科第（15）题（4分）]

例1-5 已知(1?x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则(a0?a2?a4)(a1?

a3?a5)的值等于 ．

[2007年安徽文科第（12）题]

例1-6 若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0．则

a1?a2?a3?a4?a5? ．(用数字作答)

(2008年福建理科第（13）题)

感悟：模式识别（化归为课本已解决过的问题、化归为往届高考题 ），差异分析

（2）案例2——平时解题要题题都有收获

例2 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）

[2007年高考数学陕西理科卷第（16）题]

讲解 据了解，学生普遍使用分两类计数的方法（见解法1）．我们的体会是知识经验能导致更多、更接近问题深层结构的解法．

解法1 （加法）依题意，分配方案有两种情况：

（1）3名教师分到3所学校，每校1人．这相当于从6所学校取3所作为接收单位，得A6（120）种分法．

2（2）3名教师分到2所学校，有一校2人． 从3名教师中取2人有C3种取法，再从622所学校取2所作为接收单位，得C3A6（90）种分法．

3由加法原理得不同的分配方案共有

322N?A6?C3A6?6?5?4?3?6?5?6?5?7?210种．

评析 思路打开之后，“结论也是已知信息”，多了这一个信息，情况就大不相同了（下面是由“初步解法”导出的解题反思）．由 N?210的改写

3 N?210?7?6?5?A7，

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