高考数学大题解题策略2009版(5)

或 N?210?7?6?5?6??6?1??6?1??63?6

可知，只要能给这两个数据以组合解释，便可以得出新的解法．6?6立即刺激我们的数学知识与解题经验：6就是3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法的方法数，减6就是

3减掉“3个教师都到1所学校”的6种去法（见解法2）． 那么A7中的7是从哪里来的呢？

33这只需将“分有2人”的那一学校看成2所学校即可．比如，把A校分为A1,A2校，把3名教师分到7所学校A1,A2,B,C,D,E,F，每校1人，当A1,A2中最多分1人时就是解法1的第（1）种情况，当A1,A2各分1人时就是解法1的第（2）种情况．

解法2 （减法）3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法，得6种去法，但3个教师都到1所学校与“每校至多2人”矛盾，故得不同的分配方案共有N?6?6?210种．

解法3 （对应解法）把“至多分有2人”的那一学校看成2所学校，每校分1人，则问题转化为“从7所学校中取3所，接收3名教师”的方案数，这是标准排列问题，得

3N?A7?210种．

33说明 在这个例子里，排列组合的知识不是一个个彼此孤立的单点，相互勾连的知识链能帮助我们由运算式找出它的组合解释．

2解法4 先将2名教师分到6所学校的2所，有A6种，再把余下的1名教师分到6所121学校中的任意一所，共有A6种方法，所以，共有不同的分配方案是A6=180种． A6少了，问题在哪里？

22解法5 从3名教师中取2人有C3种取法，把这2名教师分到6所学校的2所，有A61种，再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所，共有A6种方法，所以，共有不同的221分配方案是C3=540种． A6A6这又多了，问题在哪里？

3 陕西高考题中的高等背景

（1）柯西不等式背景 06-8． 已知不等式?x?y??小值为

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

?1a?则在正实数a的最???9对任意正实数x,y恒成立，

?xy?x2y26,短07-21． (本小题满分14分)已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的离心率为

ab3轴一个端点到右焦点的距离为3．

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为积的最大值．

3，求△AOB面2S?AOB??x13x1x1y2?x2y1?y2?2y12233212

3?x32??x22??y?y?.?1??2?2?332???33an，2，?．，an?1?，n?1

52an?108-22 （本小题满分14分）已知数列{an}的首项a1?（1）求{an}的通项公式； （2）证明：对任意的x?0，an≥11?2?2，?； ??x??，n?1，2n1?x(1?x)?3?n2（3）证明：a1?a2???an?．（柯西不等式）

n?1第（3）问相当于

3nn2题目1 已知数列an?n，证明：a1?a2???an?．

3?2n?1记bn?21，，由柯西不等式有 a?nn31?bn

??1?bk??k?1n1?n2，

k?11?bkn2n2n2nn2得 a1?a2???an≥n． =??n1n?12?1?bk?n??kn?1?3n?k?1k?13所以，第（3）问可以认为是一道柯西不等式的现成题目：

1n2题目2 若?bi?1，则?． ?n?1i?1i?11?binn

（2）伯恩斯坦多项式背景

06-21 如图1，三定点A?2,1?,B?0,?1?,C??2,1?；三动点

D,E,M满足

AD?tAB,BE?tBC,DM?tDE,t?[0,1]．

（1）求动直线DE斜率的变化范围； （2）求动点M的轨迹方程.

在函数逼近论中有一个很基本的问题，就是能不能用结构最

简单的函数——多项式，去逼近任意的连续函数，答案是肯定的，前苏联数学家伯恩斯坦证明了一个很漂亮的定理：若f?x?在闭区间?0,1?上连续，则对于x一致有

limBn?f?x?;?x?n??x ?f?．其中多项式

Bnf?x?;x??k???f???C?n?k?0nknxk?1?x?n?k

称为函数f?x?的伯恩斯坦多项式．

当n?2时，上述伯恩斯坦多项式为 B2??x??;?x??f0??1?f?x2?1?2?f??2???x1??x??f12． x这构成了高考题的知识背景．下面用贝齐尔曲线作出更具体的说明．

在汽车制造业中，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出了一套利用伯恩斯坦多项式的电子计算机设计汽车车身的数学方法．设p0,p1,p2,?为n?1个给定的控制点，称参数曲线

p?t??n?pB?t?,t??0,?1

inii?0为以?pi,i?0,1,2,?,n?为控制点的n次贝齐尔曲线，其中多项式

iit?1?t? Bin?t?=Cnn?i叫做伯恩斯坦基函数，?pi,i?0,1,2,?,n?叫做贝齐尔点，顺次以直线段连接p0,p1,p2,?的折线，不管是否闭合，都叫做贝齐尔多边形．

当n?2时，二次贝齐尔曲线是一段抛物线，其矩阵方程为

?1 ?2 1 ??p0?????p?t???t2,t,1???2 2 0??p1?，0?t?1．

?1 0 0??p????2?回到高考题，取n?2，取p0为点A?2,1?,取p1为点B?0,?1?，取点p2为C??2,1?，则矩阵方程便展开为

?????????????2????2 OM?(1?t)OA?2t(1?t)OB?tOC ．

因此，高考题可以理解为来源于生产实际．据说工人在制造飞机机翼时，正是在M点的地方打上铆钉，使得机翼的横截面为抛物线．

初等解法 设M(x,y)，由人教版高中课本《数学》第一册（下）第109页例5有

????????????OD?(1?t)OA?tOB, ????????????OE?(1?t)OB?tOC,

?????????????得 OM?(1?t)OD?tOE

????????????????????(1?t)??t(1?t)OA?OB??t?(1?t)OB?tOC?

????????2?????(1?t)OA?2t(1?t)OB?tOC，

2????????????把OA??2,1?,OB??0,?1?，OC???2,1?代入，得

22?x??2(2t?t)?2(2t?3t?1)?2(1?2t)???2,2?,t??0,1?,? ?222??y?(2t?t)?(2t?3t?1)?(1?2t)??0,1?,t??0,1?.x2,x???2,2?． 消去参数t，得y?4说明：虽然这个解法有伯恩斯坦多项式的背景，也得出了n?2的贝齐尔曲线，但从头到尾都只是课本例题的应用，因此，不管问题的原始来源如何，对教学来说，选择课本背景引导高考解题是明智和可行的．

（3）柯西函数方程的背景

08-11 定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），

f1)(2?，则f(?3)等于（ C ）

高等背景 我们指出，本题可以有柯西函数方程的背景（但解法不依赖于柯西函数方程），由

f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy ，

有 f(x?y)?x?y?f(x)?f(y)?(x?y)

222?????f(x?y)?(x?y)?f(x)?x?f(y)?y即 ???????

222设F?x??f(x)?x，则已知条件成为柯西函数方程

2F?x?y??F?x??F?y?， F?1??f(1)?12?1．

解柯西函数方程得

F?x??F?1?x?x，

即 f(x)?x?x，

得 f??3???3???3?1??6．

初等解法1 虽然题目有柯西函数方程的背景，但学生可以取特殊值而求解，甚至可

?以对正整数解这个函数方程．，令x?n?1,y?1n?Z，则

2??f(n)?f(n?1)?f(2)?2?n?1?，

f(n)?f(n?1)?2n，

又f?0??f?0??f?0??0?f?0??0，故得

2f?n????fk?fk?1?2k?n?n． ????????k?1k?1nn本题不需要找出f?x?，只需找f(?3)与f(1)?2的关系，而?3与1差4，作4次递推即可．

初等解法2 在已知式中，令y?1，则f?x?1??f?x??f?1??2x，即

f?x?1??f?x??2?x?1?．

同理 f?x?2??f?x?1??2?x?2?．

f?x?3??f?x?2??2?x?3?． f?x?4??f?x?3??2?x?4?．

相加 f?x??f?x?4??4?2x?5?． 令x??3 f??3??f?1??4?6．

（4） 微分中值定理背景

08-20（本小题满分12分）已知抛物线C：y?2x，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

2????????（Ⅱ）是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

高等背景 我们指出，本题第（I）问可以有微分中值定理的背景：对二次函数f?x?，使

y M 2 B 1 O N 1 x A f?x1??f?x2??f/???

x1?x2的?，恰有??x1?x2． 2初等解法 （Ⅰ）由

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