高考数学大题解题策略2009版(2)

（1）是f?x?表达式；

（2）是反函数f?1?x?的自变量的取值为0.

从记忆储存中提取函数与反函数的关系作为解题的依据：

f?1(0)?x?f(x)?0， ①

得 4?2xx?1?0.

再从“原课本P60例1”的回忆中，得出指数方程的解

x?1， ② 再一次应用函数与反函数的关系：

f(1)?0?f?1(0)?1. ③

解题的信息过程如下图，有5条信息组成的一个和谐的逻辑结构： 意从题 捉中捕 信 有用息 从记忆储存中提取有关信息 信息1:f?1(0)?x信息2：课本 P60例1 信息3:f(1)?0?f?1?f(x)?0信息1：反函数(0)?1 f?1(x)的自变量为0 f(x)?0 4x?2x?1?0 x?1 f?1(0)?1 图2 xx?1信息：f(x)?4x?2x?1 x2?0的条件保证了反函数的存在性请注意,其中,否则f(x)?4?2 在R上没有反函数．

1-1-3 数学解题的心理机制

解题的心理过程是在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．（扩散——激活）

图3

1-2 夯实解题基础

冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理．所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素，但最基本的应有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素，这也就是我们常说的解题基本功．

值得注意的是，解题不仅是知识的使用而且也是知识的理解，不仅是能力的运用而且也是能力的培养，不仅是经验的呈现而且也是经验的积累，不仅是情感的表现而且也是情感的养成．一句话，解题不仅仅是基本功的简单体现，而且更是基本功的继续学习（庸者重在输出，智者重在输入），同样是“天天画蛋”，有的人“熟而生厌”、“熟而生笨”，而达芬奇却画出个国际大师．

1-2-1解题的知识因素（认知结构）

人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件．既然，解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！

解题研究的一代宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”．每一个希望提高解题效率、获得解题成功的人，都必须下决心，在“知识丰富”与“结构良好”两方面花大力气，所以我们建议在第一阶段复习要做到“四过关”：

●能准确理解书中的任一概念； ●能独立证明书中的每一定理； ●能熟练求解书中的所有例题； ●能历数书中各单元的作业类型.

测试（形成良好的认知结构，思维路线图）

例4-1 闭上眼睛，你能回忆几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！ 例4-2 当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！ 例4-3 说出一条会证的定理。 例4-4 说出一道会做的题目。

对于学好数学来说，记住知识还不是最难的（连记都不想记谈不上学好），还要通过解题去深入理解、疏通联系、优化结构．所以，有人说：数学不是教会的，而是学会或做会的．

1-2-2解题的能力因素（思维能力）

思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映．数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其主要成分是3种基本的数学能力：

●运算能力 ●逻辑思维能力 ●空间想象能力。

核心是能否掌握正确的思维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力与整体把握．其基本要求包括：

（1）掌握数学中各种常用的思维方法．（如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合、抽象、概括等） （2）掌握科学的解题程序．（如弄清题意、拟定计划、执行计划、回顾）

（3）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧．

（4）具有敏锐的直觉．应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀、直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对某种数学对象的本质领悟．

例5 方程未知数范围扩大是方程产生增根的（ ）． （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）既不充分也不必要条件 （D）充分必要条件 讲解 这道题目不考具体的解方程知识，而是以方程为载体考思维能力，包括构造反例的能力．据2008年9月高一学生64人的测试，四个选项都有人选，比例最大的是（B）必要而不充分条件： A B C D 未选 15人（0．23） 21人（0．33） 19人（0．29） 7人（0．11） 2人（0．03） 事实上，对方程x?1?0 平方，方程未知数范围扩大但没有增根．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的充分条件．两边乘以x?2，方程未知数范围没有扩大，但方程

?x?2?x?1?0产生增根x?2．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的必要条件．所

以，正确答案应选（C），但正确率只有0．29．而选（B）则是学生中的倾向性错觉．这种

错觉有的来自学生自身，有的来自教师的影响．

1-2-3 解题的经验因素（经验题感） 解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化．在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验． （1）解题经验

所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也向我们从反面提供有效的有序组合．成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）．一个人解题所做的脑力工作就在于回忆起经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．

弗里德曼在《怎样学会解数学题》（P.73）中认为“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型．”这就需要平时积累经验与类型．怎么积累呢？弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”．这就指出了一个途径：通过解题过程的分析来积累经验与类型．

波利亚也说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征”（《数学的发现》序言）．解题中，“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识．”（《怎样解题》P.9）

（２）题感

解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成．题感指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识，常体现为解题中的整体把握和成功思路的预感、预测与预见．如像学外语的“语感”，学音乐的“乐感”．

解题经验就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．

经验题感的一个重要构成是美感，熟谙数学美，就能以美启真、以美寻真，能够从题意中领悟到审美感受，从而随之产生解题的意向．

（3）经验积累的基本途径

中学生的解题积累，基本上就是课本上的学习积累，因此，对课本学习内容进行总结归类是积累经验的一个基本途径；分析解题过程是又一个积累经验的重要途径．

小经验1：总结每一章的作业，弄清一共有几个主要类型，每一类型各有几种解决的方法．

小经验2：分析解题过程，揭示问题的深层结构.

?分析1 由?x?记f?x??例6 如果x?x2?12??y?x?1??y??y?1??1?x?2y2?1?1，则x?y?0.

x2?1?y2?1?y.

x2?1?x问题转化为

f?x??f??y??x??y.，只需f?x?的严格单调.

“f?x?的严格单调”问题的深层结构.

??y?y?1??1，有 ?ln?x?x?1??ln?y?y?1??0?ln?x?x?1???ln?y?y?1? ?ln?x?1?x??ln?y?1?y?记f?x??ln?x?x?1?，问题转化为f?x??f??y??x??y.

分析2 由x?x2?122222222只需f?x?的严格单调 证明1 由x?x2?1???y?y2?1?1，有

?x2?1?x?y2?1?y，

0?x?y?x2?1?y2?1?x?y???x?y???x?y?x2?y2x2?1?y2?1x2?1?y2?1?x?y，

x2?1?y2?12(x2?1?x)x2?1?y2?1相减 2x?y?0. 评析 实质是证f?x??x2?1?x的单调性，用了两次x2?1?x?y2?1?y，

我们用差异分析法，只需消去x2?1，代替变形过程.

证明2 由x?x2?1???y?y2?1?1，有

?x2?1?x?x2?1?x?y2?1?y， y2?1?y，

相减 22x??2y?x?y?0.

1-2-4 解题的非智力因素（情感态度）

这里主要是指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等．这些非智力因素对于解题的作用，与它对于发明发现的作用是一样的．华罗庚教授说：“聪明在于学习、天才在于积累．”1995年5月，在中国数学会60周年年会上，笔者请国际数学大师陈省身教授谈学数学的体会，大师胸有成竹地说：首先是用功，不用功什么也谈不上．我们说，学生学习数学只有通过自身的情感体验，树立坚定的信心，才能是成功的．

波利亚也说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要．”他强调说：“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”（《怎样解题》P.92）

笔者在引述波利亚的这段话时常常补充说：如果同学们在我的课程中，不能尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么，你们最好劝我去干点别的营生，别在这里误人子弟了．良好的心理素质：动机、兴趣、态度、品德、意志等.

例7 已知a,b,c为互不相等的实数，且 xyz??，求x?y?z． a?bb?cc?a讲解 这是一个典型的题目，1951年时曾做过高考题，由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题

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