高考数学大题解题策略2009版(6)

kAB?f?x1??f?x2??x?x??a?x1?x2??b?f/?12??kl

x1?x2?2?即割线AB的斜率等于点N处的切线的斜率，两线平行．

2（Ⅱ）设A(x1，2x12)，B(x2，2x2)，联立

?y?kx?2, ? 2y?2x,?消去y，得 2x?kx?2?0．

令f?x??2x2?kx?2，则f?x1??0,f?x2??0，有 x1?x2? AB?1?k2?x1?x2?22k2?16， ?4x1x2?2x1?x2，

2x?x?x?x?MN?yM?yN?k12?2?2?12?2?2? ?12f?x1??f?x2???x1?x2?22

?x?x??122.????????若NA?NB?0，则NA?NB，又M是AB的中点，有

1?k2x1?x221?k241?k2AB2????,22MNx?x16?k． ?x1?x2?12221?k2?16?k2,????????解得k??2．即存在k??2，使NA?NB?0．

06-22 已知函数f?x??x?x?32x1?1??,且存在x0??0,?,使f?x0??x0. 24?2?（1）证明：f?x?是R上的单调增函数； （2）设 x1?0,xn?1?f?xn?,y1?1,yn?1?f?yn?,其中n?1,2,?，证明 2 xn?xn?1?x0?yn?1?yn;

（3）证明：

yn?1?xn?11?.

yn?xn2[2006年陕西高考理科数学22题]

首先f?x0??x0是不动点，下面看微分中值定理观点下第（1）、（3）问的沟通．从语言形式上看，第（1）问与第（3）问好像没有多少共同的地方，但从实质运算上看，则都是

对

F?x,y??f?y??f?x?1?y2?xy?x2?y?x?

y?x21．而第（3）问2作放缩处理，第（1）问是证明F?x,y??0，第（2）问是证明F?x,y??可以有更一般性的结论：

1f(yn)?f(xn)1??. 6yn?xn2这一结果也可由微分中值定理得出，由

2f(yn)?f(xn)11?1??f/????3?2?2???3?????,

yn?xn23?6?知当???0,??1??时，有 2?1?1?1??1???f/???f/????max?f/?0?,f/????f/?0??. 62?3??2???接着第（3）问可以提出： limxn,limyn是否存在，limxn?limyn?x0是否成立？

n??x??n??n??回答是肯定的，有

题目 已知函数f?x??x?x?32x1?, 24（1）证明存在唯一的x0??0,?,使f?x0??x0. （2）设x1?0, xn?1?f?xn?,y1?x??n??n????1?2?1,yn?1?f?yn?,其中n?1,2,?，证明limxn,

n??2limyn均存在，且limxn?limyn?x0．

用两种方法证明如下．

证明 1 （1）作函数g?x??f?x??x，即g?x??x?x?32x1?，有 24g?0??11?1??0,g?????0， 48?2?据连续函数的介值性质知，存在x0??0,?,使g?x0??0，即f?x0??x0.

??1?2?111?1?g?x??3x?2x??3????0????0,又由 224?2?/22知g?x?在?0,?上是单调减函数，故使g?x0??0的x0是唯一的，即存在唯一的

2?1????1?x0??0,?,使f?x0??x0.（f?x0??x0是不动点）

?2? 说明 可见，条件x0??0,??1??的存在性是可以证明的，只是考虑到中学生的接受性才2?作为已知给出．（通过解三次方程还可以求出x0）．

（2）第1步，由已证xn?xn?1?x0?yn?1?yn，据单调有界数列必有极限得

limxn,limyn存在．

x??x??第2步，由已证

yn?1?xn?11?，知

yn?xn2n?10?yn?xn??y1?x1??k?1yk?1?xk?1?1????，

yk?xk?2?nn?1?得 0?lim(yn?xn)?lim???0，

n??n??2??从而limxn?limyn．

n??n??第3步，由xn?xn?1?x0?yn?1?yn ，有limxn?x0?limyn，

n??n??得 limxn?limyn?x0．

n??n??证明2 第（1）问同证明1．

（２）第1步，由已证xn?xn?1?x0?yn?1?yn，据单调有界数列必有极限得

limxn,limyn存在，记

x??x??limxn?a,limyn?b．

x??x??第2步，由第（1）问知，存在唯一的x0??0,?,使f?x0??x0.现对

??1?2?xn?1?f?xn?,yn?1?f?yn?

取极限，有

a?f?a??,bb ?f?，

由方程f?x??x解的惟一性，得a?b?x0． 得证limxn,limyn均存在，且limxn?limyn?x0．

n??n??n??n??

（5）泰勒展开式的背景

08-22题 （本小题满分14分）已知数列{an}的首项a1?（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x?0，an≥33ann?1，2，?．，， an?1?52an?111?2?2，?； ??x?，n?1，2?n1?x(1?x)?3?n2（Ⅲ）证明：a1?a2???an?．

n?1三问实际上是三道题目，分别都有 高等背景．

第（Ⅰ）问高等背景 单独看第（Ⅰ）问，可以认为是一道关于递推数列的现成题目： 题目1 已知数列{an}的首项a1?33an，2，?．求?an?的通项公，an?1?，n?152an?1式．

背景揭示1——特征方程求不动点． 背景揭示2——二阶矩阵乘方． 第（Ⅱ）问

高等背景 单独看第（Ⅱ）问，可以认为是一道数列不等式的恒成立问题：

3n题目2 已知数列an?n，证明：对任意的x?0，

3?2an≥11?2?2，?． ??x??，n?1，1?x(1?x)2?3n?我们的分析将揭示，这道题目既有很简单的初等背景：实数的平方为非负数，又有很深

刻的高等背景：泰勒展开式去掉非负的余项．

设F?x??112///，则F?x???，代入泰勒展开式 ,Fx???231?x(1?x)(1?x)F/?x0?F//?c?2F?x??F?x0???x?x0???x?x0?

1!2!其中c在x0与x之间．有

11112， ??x?x?x?x????001?x1?x0(1?x0)2(1?c)3212?0b?x，取为，为了保证此时的拉格朗日型余项非xx??n03n(1?c)3取x为bn?负，高考题取了一个充分条件x?0，这时c在bn?了．

初等解法

解法1 把

2?0与x?0之间，当然也就大于0n3221统一为，??1并 annn33an左边?右边=an?11?2???x?? 2n1?x(1?x)?3??an??an??11?1??1?x??1?x(1?x)2?an?21?1?x(1?x)2an2

??1??an???0,??1?x?an???这就清楚了，第（II）问不等式成立等价于实数的平方为非负数，并且x?0的条件不

是必要的．这个平方式可以改写为基本不等式

解法2 由an?12?，得

(1?x)2an1?xan??21?1?x(1?x)2an21?2???1? 2?n1?x(1?x)?3?11?2????x??.1?x(1?x)2?3n?

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