北京交通大学信号与系统第四章典型例题(6)

制特性求出X(j?)所对应的时域表示式，再考虑相位谱，利用Fourier变换的时移特性即可计算。 解：

频谱X(j?)可表示为

X(j?)?X(j?)ej?(?)??p2(??5)?p2(??5)?e?j2?

1FSa(t)???p2(?) 由抽样信号的频谱，有

π

利用Fourier变换的频移特性(调制定理)，可得

112F?p2(??5)?p2(??5)????Sa(t)e?j5t?Sa(t)ej5t?Sa(t)cos(5t)

πππ在利用Fourier变换的时移特性，即得

x(t)?2Sa(t?2)cos[5(t?2)] π结论：

若信号的相位谱是过原点的一条直线，则称为线性相位。由Fourier变换的时移特性可知，频域的线性相位对应时域信号的时移。

【例4-2-31】试求频谱函数X(j?)?分析：

将

2sin(?)所对应的信号x(t)。

?(j??1)1j?(j??1)展开成

11与之和的形式，两者分别对应符号函数和单边指数信号j?j??1的频谱，再将sin(?)用虚指数表示，即2jsin(?)?(ej??e?j?)，利用Fourier变换的时移特性即可求解。

解：

将频谱X(j?)表示为 由于

2sin(?)1?11??1j??j?????2jsin(?)???(e?e)??j?j??1??j?j??1?? ?(j??1)????Fsgn(t)???21F?，e?tu(t)??

j?j??1故利用Fourier变换的线性特性，可得

11F????0.5sgn(t)?e?tu(t)

j?j??1再利用Fourier变换的时移特性，即得

x(t)?0.5sgn(t?1)?e?(t?1)u(t?1)?0.5sgn(t?1)?e?(t?1)u(t?1)

???? ?p2(t)?e?(t?1)u(t?1)?e?(t?1)u(t?1)

结论：

若信号x(t)的频域表示式X(j?)比较复杂，可以将其分解为基本信号频谱的线性组合，利用基本信号的频谱和Fourier变换的性质获得信号的时域表示式x(t)。

~x[k]的频谱X[m]。 【例4-3-1】求下图所示周期为N的矩形序列~1x[k]?N+M?M0MN?MNN?Mk周期矩形序列

分析：

直接DFS公式计算即可。DFS公式为

~X[m]?k??N??Mmk~ x[k]WN(1)

解：

由图可知，该周期矩形序列的宽度为2M+1。根据式(1)可得

~X[m]?k??M?e?j2πkmN

利用等比级数的求和公式可得周期矩形序列的频谱为

e~X[m]?j2πmMN?e?j2πm(M?1)N1?e?j2?mN?πm?2M?1??sin??N?? ??πm?sin??N??下图分别画出了N=30，M=2、12时，周期矩形序列的频谱。

543F[m]210-1-30-20-100m102030F[m]2520151050-5-30-20-100m102030

(a) N=30，M=2 (b) N=30，M=12

周期矩形序列的频谱

小结：

~x[k]，其频谱X[m]也是一个周期为N的序列。 (1) 周期为N的周期序列~(2) 周期矩形序列在N固定时，M越小，信号中的高频率分量就越多。

~x[k]=cos(?k/6)的频谱X[m]。 【例4-3-2】求周期序列~分析：

本题信号可以利用Euler公式展开为虚指数信号的线性组合。根据IDFS公式的物理含义，周期序列可用有限项虚指数信号{e

j2πkNm;m?0,1,?,N?1}的线性组合，即

2π虚指数信号的加权系数X[m]就是周期序列的频谱。 解：

x[k]的周期N=12。由Euler公式 该周期序列~~?jmk1~~N x[k]?X[m]e?Nm??N?(2)

x[k]在区间-5?m?6上的频谱为 根据式(2)，可得该周期序列~11~x[k]?ej2?k/12?e?j2πk/12

22

?6m??1~ X[m]??0?5?m?6,m??1?~x[k]在区间0?m?11上的频谱为 由于X[m]的周期N=12，~

?6m?1,11~ X[m]??02?m?10,m?0?~x[k]的频谱X[m]。 下画出了该周期序列~

X[m]6?11?1011123m周期余弦序列的频谱

小结：

在求解周期序列的频谱时，可以根据实际情况，灵活运用DFS和IDFS。对一般的周期序列，可用DFS计算其频谱。当信号可以直接分解为虚指数信号的线性组合时，利用IDFS更为便利。

~x[k]的频谱为X[m]，试确定序列【例4-3-3】已知周期N为偶数的周期序列~x[k],k为偶?~~的频谱。 y[k]??0,k为奇?分析：

1y[k]可用~x[k]表示为~周期序列~y[k]?{~x[k]?(?1)k~x[k]}，利用DFS的线性特性和频

2y[k]的频谱。 移特性即可求出~解：

1~由于 y[k]?{~x[k]?(?1)k~x[k]} 2(N/2)k根据虚指数信号的性质，有(?1)k?WN，故利用DFS的频移特性，可得

DFS{(?1)k~x[k]}?X[m?N/2] 再利用DFS的线性特性，即得

~~~X[m]?X[m?N/2]~ Y[m]?DFS{y[k]}?2小结：

(1)信号分析的基本方法是将复杂信号用基本信号的线性组合表示，因此DFS的线性特性是离散周期序列频域分析的重要性质之一。

(2)序列时域乘以虚指数，对应频域为该序列频谱的频移。该性质是离散序列调制的基础。

【例4-4-1】试求单位脉冲序列x[k]=?[k]的频谱。 分析：

~ 单位脉冲序列?[k]是基本离散序列，满足绝对可和，其DTFT存在，可以直接根据DTFT定义计算。 解：

由离散序列DTFT的定义可得?[k]的频谱为

X(ej?)?k?????[k]e??jk??1

下图画出了单位脉冲序列及其频谱。

?[k]1X(ej?)??2?1012k?????0???? (a) 单位脉冲序列 (b) 单位脉冲序列的频谱

结论：

【例4-4-2】试求序列x[k]??ku[k]的频谱。 分析：

指数序列?ku[k]是基本离散序列，当|?|<1时才满足绝对可和， DTFT存在。否则， DTFT不存在。 解：

由离散序列DTFT的定义，有

单位脉冲序列的频谱X(ej??)在整个定义域(???Ω??)上为常数。

X(ej?)???k?0?ke?jk?????e???jk?0?k

当|?|>1时，求和不收敛。即序列x[k]??ku[k]在??1时不存在DTFT。 当|?|<1时，由等比级数的求和公式得

1X(ej?)???1

1??e?j?当|?|<1，且?是实数时，序列x[k]的幅度谱和相位谱分别为

11? X(ej?)?2221???2?cos?(1??cosΩ)?(?sinΩ)

??sinΩ??

1??cosΩ??k

下图分别画出了实序列x[k]=(0.7)u[k]的幅度谱和相位谱。

【例4-4-3】已知序列x[k]的频谱如下图(a)所示，试求序列y[k]=x[k]cos(?k)的频谱。 分析：

利用DTFT的频移特性(调制定理)。 解：

由Euler公式 y[k]?x[k](ejπk?e?jπk)/2 根据DTFT的频移特性和线性特性，可得

?(Ω)??arctan?

Y(ej?)?X(ej(??π))?X(ej(??π))/2

??

图(b) 为x[k]ejπk的频谱，图(c) 为x[k]e?jπk的频谱，图(d)为Y(ej?)在一个周期内的波形。

X(ej?)??????????0???????(a) x[k]的频谱

X(ej(????)?

?????0?jπk???

的频谱

(b) x[k]eX(ej(????)??????0????(c) x[k]e?jπk

的频谱

Y(ej?)??π0 (d) y[k]的频谱

π?

结论：

序列x[k]乘以cos(?ck)后其频谱是将x[k]的频谱在频域向左右搬移?c，这是离散时间

信号幅度调制的理论基础。

【例4-4-4】试求实偶对称序列 y[k]?(0.5)的频谱。 分析：

序列y[k]?(0.5)可表示为y[k]?0.5ku[k]?0.5?ku[?k]??[k]，(y[k]??[k])/2可以看

kk成0.5ku[k]的偶分量，利用0.5ku[k]的频谱和DTFT的对称特性即可计算频谱。 解：

由指数序列的频谱，有

j?

TFTx[k]?(0.5)ku[k]?D???X(ejΩ)?11?0.5e?jΩ

将X(e)表示为实部和虚部的形式为

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