北京交通大学信号与系统第四章典型例题(3)

X(j?)(2????0?

虚指数信号的频谱

结论：

虚指数信号的频谱只在?=?0处有一冲激，因此也称虚指数信号为单频信号。

【例4-2-8】试求正弦型信号cos(?0t)和sin(?0t)的频谱X(j?)。 分析：

正弦型信号在整个信号区间（?∞，+∞）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在，可利用虚指数信号的频谱计算。 解：

利用Euler欧拉公式，将正弦型信号用虚指数信号表示为

11cos(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)，sin(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)

2j2利用虚指数信号的频谱，可得正、余弦信号的频谱函数为

1Fcos(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)???π[?(???0)??(???0)]

21Fsin(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)????jπ[?(???0)??(???0)]

2jcos(??t)

其时域波形和频谱分别如下图所示。

X(j?)??????0t??????(a)余弦信号 (b)余弦信号的频谱

sin(??t)X(j?)?j??t?????0??j???(c)正弦信号 (d)正弦信号的频谱

结论：

正弦型信号的频谱在????0处各有一冲激。

x(t)的频谱X(j?)。 【例4-2-9】试求任意周期信号~ 分析：

周期信号在整个信号区间（?∞，+∞）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。在求其Fourier变换时，应先写出其Fourier级数表示式，再利用虚指数信号的Fourier变换计算。 解：

周期信号的Fourier级数表示式为

?~x(t)?n????Cnejn?0t， ?0???2π T0[ejn?0t]

利用虚指数信号的Fourier变换，对上式两边进行Fourier变换，可得

X(j?)?F[~x(t)]?F[?Cnejn?0t]?n???n????CFn???2πn????C?(??n?n??0)

结论：

连续周期信号的频谱密度函数X(j?)是冲激串函数，冲激串前的系数为2?Cn。因此，连续周期信号的Fourier系数Cn与其频谱密度函数X(j?)是一致的。

【例4-2-10】试求周期冲激串?T0(t)?n?????(t?nT)的频谱X(j?)。

0?? 分析：

x(t)的Fourier变换即可求出。 利用任意周期信号~解：

周期信号?T0(t)的Fourier系数Cn为

Cn?x(t)的Fourier变换，可得 利用任意周期信号~1T0?T0/2?T0/2?T(t)ejn?tdt?001T0?T0/2?T0/2?(t)ejn?tdt?01 T00)

1X(j?)?F[?T0(t)]?2πCn?(??n?0)?T0n??????n????2π?(??n?2π T0X(j?)??0)??

??0n???????(??n?0), ?0?

周期冲激串信号?T0(t)及其频谱如下图所示。

?T(t)0(1)-T00T0t(a) 周期冲激串信号 (b) 周期冲激串的频谱

-?00?0?

结论：

(1)周期冲激串信号?T0(t)的频谱也是一个周期冲激串，并且它的周期?0和?T0(t)的周期T0成反比。

(2) 周期信号的频谱Cn是计算周期信号频谱密度X(j?)的关键。

(3) 周期冲激串信号在信号分析中具有重要作用。

【例4-2-11】已知信号x(t)的波形如下图所示，试求信号x(t)的频谱。 分析：

用基本信号的线性组合表示x(t)。 解：

x(t)可以表示为直流信号与宽度为1矩形信号的相减，即 x(t) = 2 – p1(t) 由连续时间Fourier变换的线性特性可得 X(j?)=4??(?)?Sa(?/2)

x(t)21?0.500.5t

结论：

(1)复杂信号可以表示为基本信号，根据基本信号的Fourier变换以及信号Fourier变换的性质就可以得到复杂的信号的Fourier变换。

(2)当信号x(t)中存在直流分量时，其频谱X(j?)中一般含有冲激函数。 【例4-2-12】试求双边指数信号x(t)?e分析：

可以看成是单边指数信号e??tu(t)的偶分量，利用e??tu(t)的频谱和Fourierx(t)?e变换的对称特性即可求出。 解：

单边指数信号e??tu(t)的频谱为

Fe??tu(t)?????t(???t??)的频谱。

??tj?1??2?

??j????2?2??2因为e??tu(t)的偶分量为

11??txe(t)?[e??tu(t)?e?tu(?t)]?eu(t)

22利用实信号偶分量xe(t)的频谱为 X(j?)的实部，可得

?1?1??tF?? e???Re?????j???2??2 2?? 故

e??tF???2? 22???结论：

当x(t)为实偶对称信号时，其频谱函数X(j?)也为实偶对称函数。 【例4-2-13】试求信号x(t)?分析：

1的频谱函数X(j?)。 πt 利用符号函数的频谱和Foruier变换的互易对称特性计算。 解：

符号函数的频谱为

2Fsgn(t)???

j?根据Foruier变换的互易对称特性可得

2F???2πsgn(??)??2πsgn(?)

jt再根据Fourier变换的线性特性得 结论：

在信号Hilbert变换和信号单边带幅度调制中，信号x(t)?1及其Fourier变换πt1F????jsgn(?) πt

X(j?)??jsgn?()得到广泛应用。

【例4-2-14】求连续时间信号Sa(t)的频谱函数X(j?)。 分析：

利用非周期矩形脉冲信号的频谱和Foruier变换的互易对称特性计算。 解：

由常见信号的频谱可知，幅度为1宽度为2的矩形脉冲p2 (t)的频谱为

F p2(t)???2Sa(?) 分别如下图(a)(b)所示。由Fourier变换的互易对称特性可得

F 2Sa(t)???2πp2(??)?2πp2(?)

其时、频谱波形分别如下图(c)(d)所示。由Fourier变换的线性特性可得 FSa(t)???πp2(?)

式中p2(?)表示幅度为1宽度为2的矩形脉冲。

X(j??x(t)1??101t??0??

(a) 矩形脉冲信号 (b) 矩形脉冲信号的频谱

X(jt??x(?)2???0?t?1

01?

(c) 抽样信号Sa(t) (d) 抽样信号Sa(t)的频谱

结论：

(1)时域的矩形信号对应的频谱为抽样函数，而时域的抽样信号对应的频谱为矩形函数。

(2)从系统来看，若p2(?)是理想低通滤波器的频率响应，则其单位冲激响应h(t)是抽样函数

【例4-2-15】试求抽样信号x(t)?Sa(?0t)的频谱函数X(j?)。 分析：

利用抽样信号Sa(t)的频谱和Fourier变换的展缩特性计算。 解：

抽样信号Sa(t)的频谱为

F Sa(t)???πp2(?) 根据连续信号Fourier变换的展缩特性可得

π?πFSa(?0t)???p2()?p2?0(?)

1Sa(t)。 π?0?0?0p2?0(?)表示幅度为1宽度为2?0的矩形脉冲。

结论：

(1)Sa(t)的频谱是宽度为2的矩形脉冲，而Sa(?0t)的频谱是宽度为2?0的矩形脉冲。这充分表明信号时域压缩，其对应的频谱函数扩展；信号时域扩展，其对应的频谱函数压缩。

(2)从系统来看，若p2?0(?)是理想低通滤波器的频率响应，则其单位冲激响应h(t)是抽样函数

?0πSa(?0t)。

【例4-2-16】试求信号x(t)=u(t+1)?u(t?3)的频谱函数X(j?)。 分析：

u(t+1)?u(t?3)是矩形脉冲信号，利用矩形脉冲信号的频谱和Foruier变换的时移特性计算。 解： 因为 x(t)=u(t+1)?u(t?3)=p4(t?1) p4(t)表示宽度为4，幅度为1的矩形信号。 由于 F{p4(t)}?4Sa(2?)

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库北京交通大学信号与系统第四章典型例题(3)在线全文阅读。