北京交通大学信号与系统第四章典型例题(2)

解：

x(t)的频谱为 由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号~n??A?Cn?Sa(0)，n?0,?1,?2?

T02由于Cn为实数，因而各谐波分量的相位或为零(Cn为正)或为??(Cn为负)，因此不需分别画

出幅度频谱| Cn |与相位频谱??n。可以直接画出Fourier系数Cn的分布图。根据抽样函数Sa( t )

~的曲线便可得信号x(t)的频谱图。

CnA??/ T0?2?/ ?2?/ ???0=2?/ T0周期矩形信号的频谱

结论：

周期矩形脉冲的频谱具有以下特性：

(1)离散频谱特性：频谱是以基频?0为间隔分布的离散频谱。由于谱线的间隔?0=2?/T0，故信号的周期T0越大，其基频?0就越小，谱线越密。

频谱都是由间隔为?0的谱线组成的离散谱。不同的周期信号其频谱分布的形状不同，但都 (2)幅度衰减特性：随着谐波n?0增大，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 不同的周期信号对应的频谱不同，但上述特性是周期信号频谱的普遍性质。

x(t)=1+cos(?0t??/2)+0.5 cos(2?0t+?/3)的频谱。 【例4-1-8】画出周期信号~分析：

x(t)表示为虚指数信号ejn?0t的线性组合（指数形式根据周期信号的频谱基本概念，将~Fourier级数），虚指数信号ejn?0t的系数就是该信号的频谱。

解：

x(t)可表示为 由Euler公式，周期信号~ 与~x(t)??11~x(t)?1?(e?jπ/2ej?0t?ejπ/2e?j?0t)?(ejπ/3ej2?0t?e?jπ/3e?j2?0t) 24n????Cenjn?0t比较，可得

x(t)的频谱Cn如下图所示。 所以周期信号~1111C0?1,C1?e?jπ/2,C?1?ejπ/2,C2?ejπ/3,C?2?e?jπ/3

2244 |Cn|1/21/4?3???2???1/21/42??3?????????

????n????2???3????????????2??3???周期信号~x(t)的幅度频谱和相位频谱

????

结论：

根据周期信号~可以清楚看到周期信号中各谐波分量分布情x(t)的幅度频谱和相位频谱，况。如果已知周期信号的频谱Cn，则可由式~x(t)?n?????x(t)。信号的时域Cnejn?0t重建信号~描述和频域描述是深入分析和研究信号的理论基础。

【例4-2-1】试求图(a)所示非周期矩形脉冲信号x(t)的频谱函数X(j?)。

X(j??x(t)AA?????0???t?????0????? (a) 非周期矩形脉冲信号 (b) 信号频谱函数

分析：

非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，其Fourier变换X(j?)存在。 解：

非周期矩形脉冲信号x(t)的时域表示式为

??A， |t|??2 x(t)????0， |t|?2?由连续信号Fourier变换定义可得

X(j?)?????x(t)e?j ?tdt???τ2τ?2A?e?j ?tdt sin(

A?j ?tej??/2??/22A??2?)?A?Sa(??2)

结论：

(1) 连续非周期信号的频谱是连续谱，其形状与周期矩形信号离散频谱的包络线相似。 (2) 信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。

(3) 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为信号的有效带宽。非周期矩形信号的有效带宽为2?/? (rad/s)或1/????Hz)，在时域的宽度为??。即

【例4-2-2】试求单位冲激信号x(t)=?(t)的频谱。 分析：

非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。 解：

利用冲激信号的抽样特性，可由Fourier变换的定义直接求得其频谱

X(j?)?F[?(t)]?????x(t)e?j?tdt??????(t)e?j?tdt?1

X( j???

下图画出了冲激信号?(t)及其频谱。

?(t)????t

??单位冲激信号及其频谱

结论：

(1) 冲激信号的频谱为一常数。

(2) 信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。 【例4-2-3】试求直流信号x(t)=1 ( ?? ? t??? )的频谱。

分析：

直流信号不满足绝对可积，但其Fourier变换X(j?)存在，可借助?(t)的Fourier反变换计算。 解：

利用?(t)的频谱及Fourier反变换公式可得

?(t)?1?j? t1?ed? ???2π1??j?ted? ???2π(1)

由于?(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为

?(t)?X(j?)?F[1]?(2)

由连续信号Fourier变换定义及(2)式可得

????1?e?j?tdt?2π?(?)

下图为直流信号x(t)=1(?? ? t??)及其频谱。

x(t)=1?X( j??(2?)?t??直流信号及其频谱

结论：

(1) 直流信号的频谱只在?=0处有一冲激。

(2) 信号在时域中持续时间无限，则在频域中其频谱有限。

【例4-2-4】试求符号函数sgn(t)的频谱。 分析： sgn(t)的定义为

??1 t?0?sgn(t)??0 t?0

?1 t?0?虽然符号函数不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。借助双边指数衰减信号然后取极限

的方法可以求解符号函数的频谱。 解： 因为 而

??t0sgn(t)?limsgn(t)e??0??t

F[sgn(t)e]??0??(?1)e?te?j?tdt????0e??te?j?tdt?

e(??j?)t???j?所以 幅度频谱 相位频谱

t???e?(??j?)t???j???0?t?0?11?

??j???j???tF[sgn(t)]?lim F[sgn(t)e?]??2 j?

X(j?)?2??2sgn(?)?

??0?π/2, π?(?)????sgn(?)

??02??π/2, |X( j?)|符号函数的幅度谱和相位谱如下图所示。

???????????????符号函数的幅度频谱和相位频谱

【例4-2-5】试求单位阶跃信号x(t)=u(t)的频谱。 分析：

单位阶跃信号不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。可以利用符号函数和直流信号的频谱来求单位阶跃信号的频谱。 解：

将单位阶跃信号表示为符号函数和直流信号的线性组合，即

所以单位阶跃信号u(t)的频谱为

u(t)?11?sgn(t) 221 j?

X(j?)?F[u(t)]?π?(?)?单位阶跃信号u(t)的幅度谱和相位谱如下图所示。

|X( j?)|???????(?)????????阶跃信号的幅度频谱和相位频谱

【例4-2-6】试求单边指数信号x(t) = e??tu(t), (????0)的频谱。 分析：

单边指数信号满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。 解：

由连续信号Fourier变换定义，可得

幅度频谱为

X(j?)??x(t)e?j?tdt??e??te?j?tdt???0??1

a?j?

相位频谱为

单边指数信号的幅度频谱和相位频谱如下图所示。

|X( j?)|a???(?)??arctan(?/?)

X(j?)?122

?(?)??????0?0?????

单边指数信号的幅度频谱和相位频谱

【例4-2-7】试求虚指数信号x(t) =ej?0t (??

分析：

虚指数信号在整个信号区间（?∞，+∞）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在，可借助?(t)的Fourier反变换计算。 解：

利用?(t)的频谱及Fourier反变换公式可得

1??(t)?1?ej? td? ?2π??1??j?t?(t)?ed?

2π???X(j?)?F[ej?0t(1)

由于?(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为

(2)

由连续信号Fourier变换定义及(2)式可得虚指数信号的频谱函数为

]?????e?j(???0)tdt?2π?(???0)

虚指数信号的频谱如下图所示。

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