北京交通大学信号与系统第四章典型例题(4)

利用Fourier变换的时移特性可得

X(j?)?F{p4(t?1)}?4e?j?Sa(2?)

结论：

信号在时域的时移将导致其频域的相移。若信号在时域的时移为常数，则在频域产生线性相移。

【例4-2-17】已知F{x(t)}?X(j?)，g(t)=x(2t+4), 求信号g(t)的频谱。 分析：

信号x(2t+4)是x(t)经过压缩、平移两种基本运算而产生的信号，需要分别利用Fourier变换的展缩特性和时移特性求其频谱。可以将x(t) 先进行压缩再平移，也可以将x(t) 先进行平移再压缩，两种方法的计算过程稍有不同，但结果一致。 解：

??2t，利用Fourier变换的展缩特性得 方法一：先对x(t)进行压缩 t?1?Fx(2t)???X(j)

22

??t?2，并利用Fourier变换的时移特性得 再对x(2t)进行左移 t?1?Fx[2(t?2)]?x(2t?4)???X(j)ej2?

22

??t?4，利用Fourier变换的时移特性得 方法二：先对x(t)进行左移 t?Fx(t?4)????X(j?)ej4?

结论：

??2t，并利用Fourier变换的展缩特性得 再对x(t+4)进行压缩 t?1?Fx(2t?4)????X(j)ej2?

22j?若信号g(t)=x(at+b)，(a≠0)，则存在G(j?)?1X(j?)ea。因为信号g(t)相对于信号

|a|abx(t)，存在a倍的展缩和b/a的时移。

【例4-2-18】已知信号x(t)的频谱函数X(j?)如图(a)所示，试求信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后信号a(t)的频谱函数。(?0>?m) 分析：

将cos(?0t)用虚指数信号表示为cos(?0t)?1j?0t再利用频移特性即可计算。 (e?e?j?0t)，

2解： 由于

A(j?)?F[a(t)]?F[x(t)cos(?0t)]?故根据Fourier变换的频移特性可得

11F[x(t)ej?0t]?F[x(t)e?j?0t ] 2211 X[j(???0)]?X[j(???0)]

22上式表明，信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后，信号x(t) cos(?0t)的频谱是原来信号x(t)的频谱经左、右搬移?0后相加，然后幅度减半。

Fx(t) cos(?0t)????X(j?)A(j?)?1??m?m?

0??0??m??0??0+?m(a) 信号x(t)的频谱 (b) 信号x(t) cos(?0t)的频谱

0?0??m?0?0+?m?

结论：

信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后的频谱函数为

Fx(t)cos(?0t)???1?X?j(???0)??X?j(???0)?? 2j?X?j(???0)??X?j(???0)?? 2

信号x(t)与正弦信号sin(?0t)相乘后的频谱函数为

Fx(t)sin(?0t)?????这是连续时间信号幅度调制与解调的理论基础。

【例4-2-19】求下图(a)所示宽度为?、幅度为A的三角波信号的频谱。 分析：

等腰三角形可以看成是两个等宽矩形脉冲信号的卷积，利用卷积特性即可计算。 解：

设x1(t)是一宽度为2、幅度为1的三角波信号。由于x1(t)可由两个幅度为1、宽度为1的矩形信号p1(t)卷积构成，即 p1(t) ? p1(t) = x1(t)

F{p1(t)}?Sa(?/2) 因为

所以，利用Fourier变换的卷积特性可得

F{x1(t)}?Sa2(?/2)

利用Fourier变换的线性特性和展缩特性，即可求出宽度为??、幅度为A的三角波x(t)的频谱

函数为

tA?2?? Sa() F[x(t)]?F[Ax1()]?24?/2x(t)Ax1(t)1??/20?/2t?101t(a) 宽度为??的三角波信号 (b) 宽度为2的三角波信号

结论：

由于任意等腰三角波信号都可以表示为两个等宽的矩形信号的卷积，而矩形信号的的频谱为抽样函数，因此，任意等腰三角波信号的的频谱必然为抽样函数的平方。

【例4-2-20】 已知信号x(t)的频谱函数X(j?)如图(a)所示，试求a(t)?x(t)cos(?0t)的频谱函数。(?0>?m) 分析：

利用cos(?0t)的Fourier变换，和乘积特性即可计算。 解：

cos(?0t)的Fourier变换为

Fcos(?0t)???π?(???0)?π?(???0)

根据Fourier变换的乘积特性，可得

1X(j?)*π?(???0)?π?(???0) 2π11 ?X[j(???0)]?X[j(???0)]

22上式表明，信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后，信号x(t) cos(?0t)的频谱是原来信号x(t)的频谱经左、右搬移?0后相加，然后幅度减半。

F[x(t)cos(?0t)]?X(j?)A(j?)?1??m?m?

0??0??m??0??0+?m(a) 信号x(t)的频谱 (b) 信号x(t) cos(?0t)的频谱

0?0??m?0?0+?m?

结论：

信号x(t)乘以正弦型信号后的频谱，即可利用Fourier变换的频移特性计算，也可利用Fourier变换的乘积特性计算。

【例4-2-21】试求下图(a)所示三角波信号x(t)的频谱函数X (j?)。 分析：

三角波信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为零，即

X1(0)?????x1(t)dt=0。因此利用时域微分特性或时域积分特性均可计算其频谱。

解：

三角波信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为

x'(t)?x1(t)?p1(t?)?p1(t?)

X1(j?)?F[x'(t)]?Sa(?/2)ej?/2?Sa(?/2)e?j?/2?2jSa(?/2)sin(?/2)

1212利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的线性特性和时移特性，得

方法一：利用Fourier变换的时域微分特性，有

X1(j?)?j?X(j?)

由此可得x(t)的频谱为

X(j?)?X1(j?)2jSa(?/2)sin(?/2)?Sa2(?/2) ?j??方法二：利用Fourier变换的时域积分特性，有 X(j?)X(j?)X1(j?)?1?πX1(0)?(?)?1?Sa2(?/2)

j?j?1x(t)1x1(t)?1?101t0?11t(a)三角波信号 (b)三角波信号的导数

结论：

等腰三角波信号的Fourier变换可以通过两个等宽的矩形信号的卷积来求解，也可以通过Fourier变换的微分特性或积分特性来求解，该方法特别适合不等腰三角波信号的频谱分析。因此也可以推出，不等腰三角波信号的Fourier变换不可能表示为抽样函数的平方。

【例4-2-22】试求下图(a)所示信号x(t)的频谱函数X (j?)。 分析：

信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为1，即

X1(0)?????x1(t)dt=1。因此不能利用时域微分特性，只能利用时域积分特性或修正的微分

特性计算其频谱。 解：

信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为

x'(t)?x1(t)?p1(t?)

12利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

X1(j?)?e?j?/2Sa()

2?方法一：利用连续信号Fourier变换的积分特性，可得

11?X(j?)?X1(j?)?πX1(0)?(?)?Sa()e?j?/2?π?(?)

j?j?2方法二：利用修正的微分特性，由图(a)可知x(?)?1,x(??)?0，故可得

X(j?)1?X(j?)?π[x(?)?x(??)]?(?)?1?Sa()e?j?/2?π?(?)

j?j?2x(t)1t1101tx1(t)0 结论：

(a)信号x(t)波形 (b) x(t)导数的波形

设X1(j?)是信号x(t)的导数x1(t)的频谱，若X1(0)?0，则不能利用微分特性计算，只能利用时域积分特性或修正的微分特性计算其频谱。

【例4-2-23】试求下图(a)所示信号x(t)的频谱函数X (j?)。 分析：

信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为1，即

X1(0)?????x1(t)dt=1，因此不能利用时域微分特性。若利用时域积分特性，则计算出的频

谱与例5-3-12相同，即得出的是例5-3-12信号的频谱，忽略了本题信号中的直流分量1，

因此本题只能利用修正的微分特性计算频谱。 解：

信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为

x'(t)?x1(t)?p1(t?)

12利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

X1(j?)?e?j?/2Sa()

2?由图(a)可知x(?)?2,x(??)?1，利用修正的微分特性可得

X(j?)?π[x(??)?x(??)]?(?)?x(t)2101tX1(j?)1??3π?(?)?Sa()e?j?/2 j?j?2x1(t)101t(a) 信号x(t)波形 (b) x(t)导数的波形

结论：

(1)若信号含有直流分量，则只能利用修正的微分特性计算其频谱。

(2)综合例5-3-11、例5-3-12和例5-3-13可以看出，若信号x(t)的频谱需要借助其导数x1(t)的频谱计算，则直接利用修正的微分特性计算其频谱较为简便。因为这样可以不必进行信号中是否含有直流，以及X1(0)是否为零的判断。

【例4-2-24】分别求信号x(t)?t,x(t)?t,x(t)?tu(t),x(t)?te??tu(t)的频谱。

分析：

分别利用直流信号、符号函数、阶跃信号及单边指数信号的频谱和频域微分特性计算。 解：

利用常见信号的频谱函数，以及Fourier变换的频域微分特性，可得其频谱。

F由于 1????2π?(?)

2F(???由于 sgnt)

j?F?π?(?)?由于u(t)???F因此有 t???2πj?'(?) F?j因此有 t?tsgn(t)???d22()??2 d?j??1d11F?j{π?(?)?}?jπ?'(?)?2 因此有 tu(t)???j?d?j??F?j 因此有 te??tu(t)???F?由于e??tu(t)??1

??j?d11()? d???j?(??j?)2结论：

这些信号是常用信号，其与基本信号之间存在密切关系，应理解和掌握这些常用信号的Fourier变换及其求解方法。

【例4-2-25】已知能量信号x(t)=e?3?tu(t)，若以

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