北京交通大学信号与系统第四章典型例题

第四章 典型例题

【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier级数。

~x(t)A????T0?????/2O?/2周期矩形信号

T0t

分析：

x(t)是实信号，其在一个周期[?T0/2，T0/2]内的定义为 周期矩形信号~?A t??/2~x(t)??

0 t??/2?满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。

解：

根据Fourier级数系数Cn的计算公式，有

1?/21T0/2~Cn?x(t)e?jn?0tdt?Ae?jn?0tdt?

T0?T0/2T0??/2??n??Asin(n?0?/2)A?A?jn?0tt??/2e???Sa(0)

t???/2T0(?jn?0)Tn?0?/2T02x(t)的指数形式Fourier级数表示式为 故周期矩形信号~??n??A?jn?0t~ x(t)??Cne??()Sa(0)ejn?0t

T02n???n???利用欧拉公式

ejn?0t?e?jn?0tcos(n?0t)?

2可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为

?n??A?2A?~ x(t)??()Sa(0)cos?n?0t?

T0T02n?1?

结论：

x(t)中只含有余弦信号分量。 实偶对称的周期矩形信号~【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier级数。

~x(t)????2?1A?0.50.5?A周期三角波信号

???12t

分析：

x(t)是实信号，其在一个周期 [?1/2，3/2]的表达式为 周期矩形信号~1?2At t??~2 x(t)??13?2A(1?t) ?t??22

满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。 解：

2π?π。 由于该三角波信号~所以?0?根据Fourier级数系数的计算公x(t)的周期T0=2，

T0式，有

1T0/2~11/213/2?jn?0t?jnπtCn?x(t)edt? 2Atedt?2A(1?t)e?jnπtdt

T0?T0/22?1/221/2计算上式积分可得三角波信号的频谱Cn为

nπ??4Aj?22sin(), n?0 Cn??nπ2?n?0?0,所以周期三角波信号的Fourier级数表示式为

???

利用欧拉公式

~x(t)??4Ajnπjnπtsin()e 222n???,n?0nπ??ejn?0t?e?jn?0t sin(n?0t)?2j可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为

?8A?1118Anπ?~sinπt?sin3πt?sin5πt?sin7πt?? x(t)?sin()sinnπt??2?22925492π??n?1nπ?结论：

x(t)中只含有正弦信号分量。 (1) 实奇对称的周期三角波信号~ (2) 例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier级数

~x(t)?n????Cen?jn?0t表示，所不同的是两者的Fourier系数不同。因此，研究Fourier系数也

可获得信号的某些特性。

【例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier系数的特性。

~x(t)A????T0?????/2O?/2(a)周期矩形信号

T0t

~x(t)????T0?T0/2AT0???T0/2t?A(b)周期三角波信号

分析：

首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系，即可得出相应信号Fourier系数的特性。 解：

(a)信号为实偶对称，满足~x(t)?~x(?t)，故Fourier系数Cn实偶对称，其三角形式Fourier级数表示式中只含有直流项和余弦项。

x(t)??~x(?t)，又满足~x(t)?~x(t?T0/2)，为实奇对称半波镜像信号，其三(b) 信号既满足~角形式Fourier级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。 结论：

利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。

x(t)的Fourier系数的特性。 【例4-1-4】判断下图所示周期信号~

~x(t)A0.8A????T0?T0/2T0/2T0???t?0.2A分析：

x(t)的波形来看，其不具有任何对称关系。在这种情况下可以去掉信号的直流分 从信号~量，再观察波形的对称性。 解：

信号的直流分量为

1T0~C0?x(t)dt?0.4A

T00~x(t)去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。

?~x(t)?C00.6A????T0?T0/2O?0.6AT0/2T0???t

~综合上面的分析，x(t)的三角形式Fourier级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余

弦）分量。

结论：

某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。

x(t)的Fourier【例4-1-5】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号~级数表示式。

~x(t)2???1???1234?4?3?2?10t

分析：

x(t)可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差， 周期信号~利用Fourier级数的线性

特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。 解：

x(t)可以看成下图所示直流分量~x1(t)和周期矩形信号~x2(t)之差，即 周期信号~~x(t)?~x(t)?~x(t)?2?~x(t)

x2(t)的Fourier级数表示式为 令例4-1-1中周期矩形信号的A=1，??2，T0?4，可得~?n??A?2A?~x2(t)??()Sa(0)cos?n?0t??0.5?T0n?1T02x(t)的Fourier级数表示式为 因此~122??Sa(2)cos(n?1?nπnπt) 2~x(t)?2?~x2(t)?1.5??n?1?Sa(nπnπt)cos() 22~x1(t)2?4?3?2?101234tA~x2(t)

????4?3?2?11234???t

结论：

利用常用周期信号的Fourier系数和Fourier级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier系数。

~(t)的Fourier【例4-1-6】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号g级数表示式。

~(t)gAt?2?10123

周期信号g(t)

分析：

~(t)可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和 周期信号g例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。 解：

~(t)可以表示为g~(t)?~x(t?0.5)。 周期信号g令例4-1-1中周期矩形信号的??1，T0?2，

x(t)的Fourier系数为 ??0=2?? T0??，可得~n??A?AnπCn?Sa(0)?Sa()

T0222~(t)的Fourier系数为D，利用Fourier级数的时移特性可得 令gn

Dn?e?jn0.5?0Cn?~(t)的Fourier级数表示式为 因此，周期信号gAnπSa()e?jnπ/2 22~(t)?gn????Cen?jn?0t?n?????(A/2)Sa(nπ/2)e?jnπ/2ejnπt

?A/2?2A?11?sinπt?sin3πt?sin5πt??? π?35??~x(t)A????2?1?0.50.512???t结论：

~(t)与~~(t)?~gx(t)具有gx(t?0.5)的关系，两者Fourier级数的模相等，即Cn?Dn，

但相位不同。这充分体现了周期信号Fourier级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时

移对应其在频域的相移。

x(t)的频谱。 【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号~~x(t)A????T0?????/2O?/2周期矩形信号

T0t

分析：

周期信号的Fourier系数就是该信号的频谱。

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