冲压变形基础理论(8)

第二，同时可以给出质点的应力状态特点，如表3-1所示。

表3-1 胀形轮廓与应力特点之间的关系

特征参数

胀形轮廓

比例系数

应力特点

N?1 N?1 N?1

????r，禽蛋形

????r，球 形 ????r，扁球形

F?1 F?1 F?1

????r ????r ????r

3.8.4 薄板自由胀形的力学解析

1.几何的约束方程

?r? 因为H?H?t?，所以?????r,H?，

????dH??r??rdH???????，。由式(3-87)及式(3-96)????t?Hdt?t?Hdt和式(3-97)得

????r?G??,H?? (3-99) ?H?HRF1?R其中 G??,H?? (3-100) RF?1?R1?自由胀形时应变速率与应变主轴重合，故可对式(4-1)积分，根据自由胀形的初值条件

?rH?0???HH?0?0 (3-101)

则有 ?r?G??,H??0???dH ?HH即 ?r?G??,H?????????0?GdH (3-102) ?H将式(3-79)和式(3-80)代入式(3-102)整理得到

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????r1??w?1?????????2????r???G??,H??H????G?exp??ln???dH? (3-103)

r?H?0??????至此，问题归结为求解方程(3-103)，其边值条件为：

??r0，w??0?H，w??r?0 (3-104)

0r?r0自从作者1986年在MSE杂志上给出方程(3-103)及不均匀球壳假设条件下的近似解以来，至今未见到更精确的解析解。无论是针对常规塑性材料还是针对超塑性材料，以往的解析解都是以球面胀形轮廓为前提条件获得的。

引入球壳假设后，胀形过程中轮廓方程便是已知的了，由图3-16中几何关系可知

22??w?r0?H?2H?2??2???2??r0?H??2H??2?? (3-105) ??2?Hr0w?

图3-16 球面胀形假设

2.球壳假设条件下的解析解

均匀球壳假设包括两层含义：其一，胀形过程中板厚s只随胀形高度H变化，不随几何坐标变化，其二，胀形轮廓是球壳的一部分。

由宏观体积不变条件（?r02s0?2??Hs）及图3-14所示几何关系 [?2????H?2?r02] 可得

?r02?H2????2H?s2 (3-106) H0??1?2?sr0?由于引入了球壳假设，则有?r?????，即N＝1，代入方程(3-95)得??＝?r，所以由式(3-96)?r????，可知F?1，再由式(3-100)得G?1。代入式(4-99)和式(4-102)又可得?至此，由式(3-98)?r???。

可求得应力场，由式(2-81)和体积不变条件?r?????s?0可得应变场。为简化表达式，令h?

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H，r0则有

2?r01?h2??r??????p?4sh (3-107) 0???????1??1ln1?h2r?s?22?????将应变分量对时间求导得应变速率场

?r????????s??12h1?h2?dh (3-108) dt再将式(3-107)，(3-108)代入式(3-88)－(3-90)得到

2?r01?h22??????p1?R4s0h??1?R??ln1?h2 (3-109) ???2??hdh??2?1?R?????2dt?1?h?????（1）常规塑性材料的解 对于常规塑性材料，将式(3-109)代入式(3-92)可得胀形压力p与胀形高度H之间的关系，再代回式(3-107)有

1?n?4s1?Rh?22?p?0K???ln1?h??H2?r0?2?1?h2?1?n??1?R?2?2n????K?ln1?h???r?H?2????112??r??????s?ln1?h22??????????n??? (3-110)

? 只有当胀形压力p与时间t的关系给定时，应变速率场才能确定。

（2）超性材料的解 对于超塑性材料，将式(3-109)代入式(3-91)可得胀形高度h与胀形时间t之间的关系，再代入式(3-107)和式(3-108)可得用胀形高度h表示的解析解如下

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1?m?1h1?m?2s?mhm0KB???dh?t??2?1?R??2m??r?2?mp??0?01?h2m??2?r01?h2?p??r????4sh?0?????????1??1ln1?h2?s?r22???1?m?rp1?h21?0???????????s??2?1?R??2m?????r2h?2s0KB???????? (3-111)

????21?m???（3）讨论 引入均匀球壳假设，相当于把薄板自由胀形看成内部存在压力源的封闭球壳的变形过程，而薄板自由胀形是由平板成为空间壳体，两种变形的质点位移不相同，所以上述解不满足约束方程式(3-103)，因而也不满足几何方程式(3-79)和(3-80)。

3.不均匀球壳假设条件下的解析解

假设胀形的任一时刻轮廓形状均为球壳的一部分，但球壳的厚度分布是不均匀的。由式(3-105)r02?H2知，球壳的曲率半径为??。将式(3-105)代入式(3-97)得F?1，再代入式(3-100)得G?1，

2H因此，式(3-103)变为

???????1???????r (3-112) ?r??2考虑边值条件式(4-104)，求解该微分方程可得

?r?H?22???????? (3-113) 2??r0由此可得质点瞬时坐标与原始坐标及胀形高度之间的关系

?r02r02?H2?r???422r0?Hr? (3-114) ?222rr?r?w?00?H422?r?Hr0????? 将式(3-114)代回式(3-79)－(3-82)，并将应变分量对时间求导可得不均匀球壳假设条件下的解析解如下

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?4223rr?Hp00????????r4s0Hr4?H2r220??r02r02?H21??r??????s?ln2?r04?H2r2? (3-115) ?2422?r0?Hr??s?s??0?222rr?H????00??2Hr02r02?r21dH?????????????s?r2r02?H2r04?H2r2dt???????????????? 用质点的瞬时径向坐标表示上述结果则有

2?pHr02?H2?22????????????r????4??4sr00???H?1????2??2?????r??????s?ln?2???2???r0??4?r0? (3-116) ?s?s02222?H???????????????2???dH?11?r????????s??1?????222?????H????????dt???????? 当胀形高度超过半球时，用质点的瞬时纵向坐标表示上述结果更为有利。为此，令h?y?w，则有 r0H，r0?pr01?h22???1?hy???r????4s0h??1??r??????s?ln?1?hy?2? (3-117) ?s0?s???1?hy?2?2ydH1???r????????s??2?2dt1?h? 在胀形极点，即对称轴处，??0，将此值及式(3-117)代入式(3-88)～(3-90)得

3?r01?h22??????p1?R4s0h???2 (3-118) ???2?1?R??ln1?h??2hdh??2?1?R?????2dt?1?h?????（1）常规塑性材料的解 将式(3-118)代入式(3-92)得胀形压力p，再代回(3-117)得

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